Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
eltskg |
|- ( T e. V -> ( T e. Tarski <-> ( A. z e. T ( ~P z C_ T /\ E. w e. T ~P z C_ w ) /\ A. z e. ~P T ( z ~~ T \/ z e. T ) ) ) ) |
2 |
|
nfra1 |
|- F/ z A. z e. T ~P z C_ T |
3 |
|
pweq |
|- ( z = w -> ~P z = ~P w ) |
4 |
3
|
sseq1d |
|- ( z = w -> ( ~P z C_ T <-> ~P w C_ T ) ) |
5 |
4
|
rspccva |
|- ( ( A. z e. T ~P z C_ T /\ w e. T ) -> ~P w C_ T ) |
6 |
5
|
adantlr |
|- ( ( ( A. z e. T ~P z C_ T /\ z e. T ) /\ w e. T ) -> ~P w C_ T ) |
7 |
|
vpwex |
|- ~P z e. _V |
8 |
7
|
elpw |
|- ( ~P z e. ~P w <-> ~P z C_ w ) |
9 |
|
ssel |
|- ( ~P w C_ T -> ( ~P z e. ~P w -> ~P z e. T ) ) |
10 |
8 9
|
syl5bir |
|- ( ~P w C_ T -> ( ~P z C_ w -> ~P z e. T ) ) |
11 |
6 10
|
syl |
|- ( ( ( A. z e. T ~P z C_ T /\ z e. T ) /\ w e. T ) -> ( ~P z C_ w -> ~P z e. T ) ) |
12 |
11
|
rexlimdva |
|- ( ( A. z e. T ~P z C_ T /\ z e. T ) -> ( E. w e. T ~P z C_ w -> ~P z e. T ) ) |
13 |
2 12
|
ralimdaa |
|- ( A. z e. T ~P z C_ T -> ( A. z e. T E. w e. T ~P z C_ w -> A. z e. T ~P z e. T ) ) |
14 |
13
|
imdistani |
|- ( ( A. z e. T ~P z C_ T /\ A. z e. T E. w e. T ~P z C_ w ) -> ( A. z e. T ~P z C_ T /\ A. z e. T ~P z e. T ) ) |
15 |
|
r19.26 |
|- ( A. z e. T ( ~P z C_ T /\ E. w e. T ~P z C_ w ) <-> ( A. z e. T ~P z C_ T /\ A. z e. T E. w e. T ~P z C_ w ) ) |
16 |
|
r19.26 |
|- ( A. z e. T ( ~P z C_ T /\ ~P z e. T ) <-> ( A. z e. T ~P z C_ T /\ A. z e. T ~P z e. T ) ) |
17 |
14 15 16
|
3imtr4i |
|- ( A. z e. T ( ~P z C_ T /\ E. w e. T ~P z C_ w ) -> A. z e. T ( ~P z C_ T /\ ~P z e. T ) ) |
18 |
|
ssid |
|- ~P z C_ ~P z |
19 |
|
sseq2 |
|- ( w = ~P z -> ( ~P z C_ w <-> ~P z C_ ~P z ) ) |
20 |
19
|
rspcev |
|- ( ( ~P z e. T /\ ~P z C_ ~P z ) -> E. w e. T ~P z C_ w ) |
21 |
18 20
|
mpan2 |
|- ( ~P z e. T -> E. w e. T ~P z C_ w ) |
22 |
21
|
anim2i |
|- ( ( ~P z C_ T /\ ~P z e. T ) -> ( ~P z C_ T /\ E. w e. T ~P z C_ w ) ) |
23 |
22
|
ralimi |
|- ( A. z e. T ( ~P z C_ T /\ ~P z e. T ) -> A. z e. T ( ~P z C_ T /\ E. w e. T ~P z C_ w ) ) |
24 |
17 23
|
impbii |
|- ( A. z e. T ( ~P z C_ T /\ E. w e. T ~P z C_ w ) <-> A. z e. T ( ~P z C_ T /\ ~P z e. T ) ) |
25 |
24
|
anbi1i |
|- ( ( A. z e. T ( ~P z C_ T /\ E. w e. T ~P z C_ w ) /\ A. z e. ~P T ( z ~~ T \/ z e. T ) ) <-> ( A. z e. T ( ~P z C_ T /\ ~P z e. T ) /\ A. z e. ~P T ( z ~~ T \/ z e. T ) ) ) |
26 |
1 25
|
bitrdi |
|- ( T e. V -> ( T e. Tarski <-> ( A. z e. T ( ~P z C_ T /\ ~P z e. T ) /\ A. z e. ~P T ( z ~~ T \/ z e. T ) ) ) ) |