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Theorem enssdom

Description: Equinumerosity implies dominance. (Contributed by NM, 31-Mar-1998)

Ref Expression
Assertion enssdom
|- ~~ C_ ~<_

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 relen
 |-  Rel ~~
2 f1of1
 |-  ( f : x -1-1-onto-> y -> f : x -1-1-> y )
3 2 eximi
 |-  ( E. f f : x -1-1-onto-> y -> E. f f : x -1-1-> y )
4 opabidw
 |-  ( <. x , y >. e. { <. x , y >. | E. f f : x -1-1-onto-> y } <-> E. f f : x -1-1-onto-> y )
5 opabidw
 |-  ( <. x , y >. e. { <. x , y >. | E. f f : x -1-1-> y } <-> E. f f : x -1-1-> y )
6 3 4 5 3imtr4i
 |-  ( <. x , y >. e. { <. x , y >. | E. f f : x -1-1-onto-> y } -> <. x , y >. e. { <. x , y >. | E. f f : x -1-1-> y } )
7 df-en
 |-  ~~ = { <. x , y >. | E. f f : x -1-1-onto-> y }
8 7 eleq2i
 |-  ( <. x , y >. e. ~~ <-> <. x , y >. e. { <. x , y >. | E. f f : x -1-1-onto-> y } )
9 df-dom
 |-  ~<_ = { <. x , y >. | E. f f : x -1-1-> y }
10 9 eleq2i
 |-  ( <. x , y >. e. ~<_ <-> <. x , y >. e. { <. x , y >. | E. f f : x -1-1-> y } )
11 6 8 10 3imtr4i
 |-  ( <. x , y >. e. ~~ -> <. x , y >. e. ~<_ )
12 1 11 relssi
 |-  ~~ C_ ~<_