Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
f1f |
|- ( F : D -1-1-> S -> F : D --> S ) |
2 |
|
fcoi2 |
|- ( F : D --> S -> ( ( _I |` S ) o. F ) = F ) |
3 |
1 2
|
syl |
|- ( F : D -1-1-> S -> ( ( _I |` S ) o. F ) = F ) |
4 |
3
|
3ad2ant3 |
|- ( ( W e. LMod /\ S e. ( LIndS ` W ) /\ F : D -1-1-> S ) -> ( ( _I |` S ) o. F ) = F ) |
5 |
|
simp1 |
|- ( ( W e. LMod /\ S e. ( LIndS ` W ) /\ F : D -1-1-> S ) -> W e. LMod ) |
6 |
|
linds2 |
|- ( S e. ( LIndS ` W ) -> ( _I |` S ) LIndF W ) |
7 |
6
|
3ad2ant2 |
|- ( ( W e. LMod /\ S e. ( LIndS ` W ) /\ F : D -1-1-> S ) -> ( _I |` S ) LIndF W ) |
8 |
|
dmresi |
|- dom ( _I |` S ) = S |
9 |
|
f1eq3 |
|- ( dom ( _I |` S ) = S -> ( F : D -1-1-> dom ( _I |` S ) <-> F : D -1-1-> S ) ) |
10 |
8 9
|
ax-mp |
|- ( F : D -1-1-> dom ( _I |` S ) <-> F : D -1-1-> S ) |
11 |
10
|
biimpri |
|- ( F : D -1-1-> S -> F : D -1-1-> dom ( _I |` S ) ) |
12 |
11
|
3ad2ant3 |
|- ( ( W e. LMod /\ S e. ( LIndS ` W ) /\ F : D -1-1-> S ) -> F : D -1-1-> dom ( _I |` S ) ) |
13 |
|
f1lindf |
|- ( ( W e. LMod /\ ( _I |` S ) LIndF W /\ F : D -1-1-> dom ( _I |` S ) ) -> ( ( _I |` S ) o. F ) LIndF W ) |
14 |
5 7 12 13
|
syl3anc |
|- ( ( W e. LMod /\ S e. ( LIndS ` W ) /\ F : D -1-1-> S ) -> ( ( _I |` S ) o. F ) LIndF W ) |
15 |
4 14
|
eqbrtrrd |
|- ( ( W e. LMod /\ S e. ( LIndS ` W ) /\ F : D -1-1-> S ) -> F LIndF W ) |