Theorem fincmp

Description: A finite topology is compact. (Contributed by FL, 22-Dec-2008)

	Ref	Expression
Assertion	fincmp	|- ( J e. ( Top i^i Fin ) -> J e. Comp )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elinel1	|- ( J e. ( Top i^i Fin ) -> J e. Top )
2		elinel2	|- ( J e. ( Top i^i Fin ) -> J e. Fin )
3		vex	|- y e. _V
4	3	pwid	|- y e. ~P y
5		velpw	|- ( y e. ~P J <-> y C_ J )
6		ssfi	|- ( ( J e. Fin /\ y C_ J ) -> y e. Fin )
7	5 6	sylan2b	|- ( ( J e. Fin /\ y e. ~P J ) -> y e. Fin )
8		elin	|- ( y e. ( ~P y i^i Fin ) <-> ( y e. ~P y /\ y e. Fin ) )
9		unieq	|- ( z = y -> U. z = U. y )
10	9	rspceeqv	|- ( ( y e. ( ~P y i^i Fin ) /\ U. J = U. y ) -> E. z e. ( ~P y i^i Fin ) U. J = U. z )
11	10	ex	|- ( y e. ( ~P y i^i Fin ) -> ( U. J = U. y -> E. z e. ( ~P y i^i Fin ) U. J = U. z ) )
12	8 11	sylbir	|- ( ( y e. ~P y /\ y e. Fin ) -> ( U. J = U. y -> E. z e. ( ~P y i^i Fin ) U. J = U. z ) )
13	4 7 12	sylancr	|- ( ( J e. Fin /\ y e. ~P J ) -> ( U. J = U. y -> E. z e. ( ~P y i^i Fin ) U. J = U. z ) )
14	13	ralrimiva	|- ( J e. Fin -> A. y e. ~P J ( U. J = U. y -> E. z e. ( ~P y i^i Fin ) U. J = U. z ) )
15	2 14	syl	|- ( J e. ( Top i^i Fin ) -> A. y e. ~P J ( U. J = U. y -> E. z e. ( ~P y i^i Fin ) U. J = U. z ) )
16		eqid	|- U. J = U. J
17	16	iscmp	|- ( J e. Comp <-> ( J e. Top /\ A. y e. ~P J ( U. J = U. y -> E. z e. ( ~P y i^i Fin ) U. J = U. z ) ) )
18	1 15 17	sylanbrc	|- ( J e. ( Top i^i Fin ) -> J e. Comp )