Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
eqid |
|- U. J = U. J |
2 |
1
|
flimelbas |
|- ( x e. ( J fLim G ) -> x e. U. J ) |
3 |
2
|
adantl |
|- ( ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ G C_ F ) /\ x e. ( J fLim G ) ) -> x e. U. J ) |
4 |
|
simpl1 |
|- ( ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ G C_ F ) /\ x e. ( J fLim G ) ) -> J e. ( TopOn ` X ) ) |
5 |
|
toponuni |
|- ( J e. ( TopOn ` X ) -> X = U. J ) |
6 |
4 5
|
syl |
|- ( ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ G C_ F ) /\ x e. ( J fLim G ) ) -> X = U. J ) |
7 |
3 6
|
eleqtrrd |
|- ( ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ G C_ F ) /\ x e. ( J fLim G ) ) -> x e. X ) |
8 |
|
flimneiss |
|- ( x e. ( J fLim G ) -> ( ( nei ` J ) ` { x } ) C_ G ) |
9 |
8
|
adantl |
|- ( ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ G C_ F ) /\ x e. ( J fLim G ) ) -> ( ( nei ` J ) ` { x } ) C_ G ) |
10 |
|
simpl3 |
|- ( ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ G C_ F ) /\ x e. ( J fLim G ) ) -> G C_ F ) |
11 |
9 10
|
sstrd |
|- ( ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ G C_ F ) /\ x e. ( J fLim G ) ) -> ( ( nei ` J ) ` { x } ) C_ F ) |
12 |
|
simpl2 |
|- ( ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ G C_ F ) /\ x e. ( J fLim G ) ) -> F e. ( Fil ` X ) ) |
13 |
|
elflim |
|- ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) -> ( x e. ( J fLim F ) <-> ( x e. X /\ ( ( nei ` J ) ` { x } ) C_ F ) ) ) |
14 |
4 12 13
|
syl2anc |
|- ( ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ G C_ F ) /\ x e. ( J fLim G ) ) -> ( x e. ( J fLim F ) <-> ( x e. X /\ ( ( nei ` J ) ` { x } ) C_ F ) ) ) |
15 |
7 11 14
|
mpbir2and |
|- ( ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ G C_ F ) /\ x e. ( J fLim G ) ) -> x e. ( J fLim F ) ) |
16 |
15
|
ex |
|- ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ G C_ F ) -> ( x e. ( J fLim G ) -> x e. ( J fLim F ) ) ) |
17 |
16
|
ssrdv |
|- ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) /\ G C_ F ) -> ( J fLim G ) C_ ( J fLim F ) ) |