Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
simpr |
|- ( ( ( F e. ( R ^m NN0 ) /\ Z e. V ) /\ F finSupp Z ) -> F finSupp Z ) |
2 |
1
|
fsuppimpd |
|- ( ( ( F e. ( R ^m NN0 ) /\ Z e. V ) /\ F finSupp Z ) -> ( F supp Z ) e. Fin ) |
3 |
2
|
ex |
|- ( ( F e. ( R ^m NN0 ) /\ Z e. V ) -> ( F finSupp Z -> ( F supp Z ) e. Fin ) ) |
4 |
|
elmapfn |
|- ( F e. ( R ^m NN0 ) -> F Fn NN0 ) |
5 |
4
|
adantr |
|- ( ( F e. ( R ^m NN0 ) /\ Z e. V ) -> F Fn NN0 ) |
6 |
|
nn0ex |
|- NN0 e. _V |
7 |
6
|
a1i |
|- ( ( F e. ( R ^m NN0 ) /\ Z e. V ) -> NN0 e. _V ) |
8 |
|
simpr |
|- ( ( F e. ( R ^m NN0 ) /\ Z e. V ) -> Z e. V ) |
9 |
|
suppvalfn |
|- ( ( F Fn NN0 /\ NN0 e. _V /\ Z e. V ) -> ( F supp Z ) = { x e. NN0 | ( F ` x ) =/= Z } ) |
10 |
5 7 8 9
|
syl3anc |
|- ( ( F e. ( R ^m NN0 ) /\ Z e. V ) -> ( F supp Z ) = { x e. NN0 | ( F ` x ) =/= Z } ) |
11 |
10
|
eleq1d |
|- ( ( F e. ( R ^m NN0 ) /\ Z e. V ) -> ( ( F supp Z ) e. Fin <-> { x e. NN0 | ( F ` x ) =/= Z } e. Fin ) ) |
12 |
|
rabssnn0fi |
|- ( { x e. NN0 | ( F ` x ) =/= Z } e. Fin <-> E. m e. NN0 A. x e. NN0 ( m < x -> -. ( F ` x ) =/= Z ) ) |
13 |
|
nne |
|- ( -. ( F ` x ) =/= Z <-> ( F ` x ) = Z ) |
14 |
13
|
imbi2i |
|- ( ( m < x -> -. ( F ` x ) =/= Z ) <-> ( m < x -> ( F ` x ) = Z ) ) |
15 |
14
|
ralbii |
|- ( A. x e. NN0 ( m < x -> -. ( F ` x ) =/= Z ) <-> A. x e. NN0 ( m < x -> ( F ` x ) = Z ) ) |
16 |
15
|
rexbii |
|- ( E. m e. NN0 A. x e. NN0 ( m < x -> -. ( F ` x ) =/= Z ) <-> E. m e. NN0 A. x e. NN0 ( m < x -> ( F ` x ) = Z ) ) |
17 |
12 16
|
sylbb |
|- ( { x e. NN0 | ( F ` x ) =/= Z } e. Fin -> E. m e. NN0 A. x e. NN0 ( m < x -> ( F ` x ) = Z ) ) |
18 |
11 17
|
syl6bi |
|- ( ( F e. ( R ^m NN0 ) /\ Z e. V ) -> ( ( F supp Z ) e. Fin -> E. m e. NN0 A. x e. NN0 ( m < x -> ( F ` x ) = Z ) ) ) |
19 |
3 18
|
syld |
|- ( ( F e. ( R ^m NN0 ) /\ Z e. V ) -> ( F finSupp Z -> E. m e. NN0 A. x e. NN0 ( m < x -> ( F ` x ) = Z ) ) ) |