Theorem fzostep1

Description: Two possibilities for a number one greater than a number in a half-open range. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015)

	Ref	Expression
Assertion	fzostep1	|- ( A e. ( B ..^ C ) -> ( ( A + 1 ) e. ( B ..^ C ) \/ ( A + 1 ) = C ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzoel1	|- ( A e. ( B ..^ C ) -> B e. ZZ )
2		uzid	|- ( B e. ZZ -> B e. ( ZZ>= ` B ) )
3		peano2uz	|- ( B e. ( ZZ>= ` B ) -> ( B + 1 ) e. ( ZZ>= ` B ) )
4		fzoss1	|- ( ( B + 1 ) e. ( ZZ>= ` B ) -> ( ( B + 1 ) ..^ ( C + 1 ) ) C_ ( B ..^ ( C + 1 ) ) )
5	1 2 3 4	4syl	|- ( A e. ( B ..^ C ) -> ( ( B + 1 ) ..^ ( C + 1 ) ) C_ ( B ..^ ( C + 1 ) ) )
6		1z	|- 1 e. ZZ
7		fzoaddel	|- ( ( A e. ( B ..^ C ) /\ 1 e. ZZ ) -> ( A + 1 ) e. ( ( B + 1 ) ..^ ( C + 1 ) ) )
8	6 7	mpan2	|- ( A e. ( B ..^ C ) -> ( A + 1 ) e. ( ( B + 1 ) ..^ ( C + 1 ) ) )
9	5 8	sseldd	|- ( A e. ( B ..^ C ) -> ( A + 1 ) e. ( B ..^ ( C + 1 ) ) )
10		elfzoel2	|- ( A e. ( B ..^ C ) -> C e. ZZ )
11		elfzolt3	|- ( A e. ( B ..^ C ) -> B < C )
12		zre	|- ( B e. ZZ -> B e. RR )
13		zre	|- ( C e. ZZ -> C e. RR )
14		ltle	|- ( ( B e. RR /\ C e. RR ) -> ( B < C -> B <_ C ) )
15	12 13 14	syl2an	|- ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) -> ( B < C -> B <_ C ) )
16	1 10 15	syl2anc	|- ( A e. ( B ..^ C ) -> ( B < C -> B <_ C ) )
17	11 16	mpd	|- ( A e. ( B ..^ C ) -> B <_ C )
18		eluz2	|- ( C e. ( ZZ>= ` B ) <-> ( B e. ZZ /\ C e. ZZ /\ B <_ C ) )
19	1 10 17 18	syl3anbrc	|- ( A e. ( B ..^ C ) -> C e. ( ZZ>= ` B ) )
20		fzosplitsni	|- ( C e. ( ZZ>= ` B ) -> ( ( A + 1 ) e. ( B ..^ ( C + 1 ) ) <-> ( ( A + 1 ) e. ( B ..^ C ) \/ ( A + 1 ) = C ) ) )
21	19 20	syl	|- ( A e. ( B ..^ C ) -> ( ( A + 1 ) e. ( B ..^ ( C + 1 ) ) <-> ( ( A + 1 ) e. ( B ..^ C ) \/ ( A + 1 ) = C ) ) )
22	9 21	mpbid	|- ( A e. ( B ..^ C ) -> ( ( A + 1 ) e. ( B ..^ C ) \/ ( A + 1 ) = C ) )