Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
hhnv.1 |
|- U = <. <. +h , .h >. , normh >. |
2 |
|
eqid |
|- <. <. +h , .h >. , normh >. = <. <. +h , .h >. , normh >. |
3 |
2
|
hhnv |
|- <. <. +h , .h >. , normh >. e. NrmCVec |
4 |
|
normpar |
|- ( ( x e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( ( ( normh ` ( x -h y ) ) ^ 2 ) + ( ( normh ` ( x +h y ) ) ^ 2 ) ) = ( ( 2 x. ( ( normh ` x ) ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( ( normh ` y ) ^ 2 ) ) ) ) |
5 |
|
hvsubval |
|- ( ( x e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( x -h y ) = ( x +h ( -u 1 .h y ) ) ) |
6 |
5
|
fveq2d |
|- ( ( x e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( normh ` ( x -h y ) ) = ( normh ` ( x +h ( -u 1 .h y ) ) ) ) |
7 |
6
|
oveq1d |
|- ( ( x e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( ( normh ` ( x -h y ) ) ^ 2 ) = ( ( normh ` ( x +h ( -u 1 .h y ) ) ) ^ 2 ) ) |
8 |
7
|
oveq2d |
|- ( ( x e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( ( ( normh ` ( x +h y ) ) ^ 2 ) + ( ( normh ` ( x -h y ) ) ^ 2 ) ) = ( ( ( normh ` ( x +h y ) ) ^ 2 ) + ( ( normh ` ( x +h ( -u 1 .h y ) ) ) ^ 2 ) ) ) |
9 |
|
hvaddcl |
|- ( ( x e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( x +h y ) e. ~H ) |
10 |
|
normcl |
|- ( ( x +h y ) e. ~H -> ( normh ` ( x +h y ) ) e. RR ) |
11 |
9 10
|
syl |
|- ( ( x e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( normh ` ( x +h y ) ) e. RR ) |
12 |
11
|
recnd |
|- ( ( x e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( normh ` ( x +h y ) ) e. CC ) |
13 |
12
|
sqcld |
|- ( ( x e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( ( normh ` ( x +h y ) ) ^ 2 ) e. CC ) |
14 |
|
hvsubcl |
|- ( ( x e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( x -h y ) e. ~H ) |
15 |
|
normcl |
|- ( ( x -h y ) e. ~H -> ( normh ` ( x -h y ) ) e. RR ) |
16 |
15
|
recnd |
|- ( ( x -h y ) e. ~H -> ( normh ` ( x -h y ) ) e. CC ) |
17 |
14 16
|
syl |
|- ( ( x e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( normh ` ( x -h y ) ) e. CC ) |
18 |
17
|
sqcld |
|- ( ( x e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( ( normh ` ( x -h y ) ) ^ 2 ) e. CC ) |
19 |
13 18
|
addcomd |
|- ( ( x e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( ( ( normh ` ( x +h y ) ) ^ 2 ) + ( ( normh ` ( x -h y ) ) ^ 2 ) ) = ( ( ( normh ` ( x -h y ) ) ^ 2 ) + ( ( normh ` ( x +h y ) ) ^ 2 ) ) ) |
20 |
8 19
|
eqtr3d |
|- ( ( x e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( ( ( normh ` ( x +h y ) ) ^ 2 ) + ( ( normh ` ( x +h ( -u 1 .h y ) ) ) ^ 2 ) ) = ( ( ( normh ` ( x -h y ) ) ^ 2 ) + ( ( normh ` ( x +h y ) ) ^ 2 ) ) ) |
21 |
|
normcl |
|- ( x e. ~H -> ( normh ` x ) e. RR ) |
22 |
21
|
recnd |
|- ( x e. ~H -> ( normh ` x ) e. CC ) |
23 |
22
|
sqcld |
|- ( x e. ~H -> ( ( normh ` x ) ^ 2 ) e. CC ) |
24 |
|
normcl |
|- ( y e. ~H -> ( normh ` y ) e. RR ) |
25 |
24
|
recnd |
|- ( y e. ~H -> ( normh ` y ) e. CC ) |
26 |
25
|
sqcld |
|- ( y e. ~H -> ( ( normh ` y ) ^ 2 ) e. CC ) |
27 |
|
2cn |
|- 2 e. CC |
28 |
|
adddi |
|- ( ( 2 e. CC /\ ( ( normh ` x ) ^ 2 ) e. CC /\ ( ( normh ` y ) ^ 2 ) e. CC ) -> ( 2 x. ( ( ( normh ` x ) ^ 2 ) + ( ( normh ` y ) ^ 2 ) ) ) = ( ( 2 x. ( ( normh ` x ) ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( ( normh ` y ) ^ 2 ) ) ) ) |
29 |
27 28
|
mp3an1 |
|- ( ( ( ( normh ` x ) ^ 2 ) e. CC /\ ( ( normh ` y ) ^ 2 ) e. CC ) -> ( 2 x. ( ( ( normh ` x ) ^ 2 ) + ( ( normh ` y ) ^ 2 ) ) ) = ( ( 2 x. ( ( normh ` x ) ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( ( normh ` y ) ^ 2 ) ) ) ) |
30 |
23 26 29
|
syl2an |
|- ( ( x e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( 2 x. ( ( ( normh ` x ) ^ 2 ) + ( ( normh ` y ) ^ 2 ) ) ) = ( ( 2 x. ( ( normh ` x ) ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( ( normh ` y ) ^ 2 ) ) ) ) |
31 |
4 20 30
|
3eqtr4d |
|- ( ( x e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( ( ( normh ` ( x +h y ) ) ^ 2 ) + ( ( normh ` ( x +h ( -u 1 .h y ) ) ) ^ 2 ) ) = ( 2 x. ( ( ( normh ` x ) ^ 2 ) + ( ( normh ` y ) ^ 2 ) ) ) ) |
32 |
31
|
rgen2 |
|- A. x e. ~H A. y e. ~H ( ( ( normh ` ( x +h y ) ) ^ 2 ) + ( ( normh ` ( x +h ( -u 1 .h y ) ) ) ^ 2 ) ) = ( 2 x. ( ( ( normh ` x ) ^ 2 ) + ( ( normh ` y ) ^ 2 ) ) ) |
33 |
|
hilablo |
|- +h e. AbelOp |
34 |
33
|
elexi |
|- +h e. _V |
35 |
|
hvmulex |
|- .h e. _V |
36 |
|
normf |
|- normh : ~H --> RR |
37 |
|
ax-hilex |
|- ~H e. _V |
38 |
|
fex |
|- ( ( normh : ~H --> RR /\ ~H e. _V ) -> normh e. _V ) |
39 |
36 37 38
|
mp2an |
|- normh e. _V |
40 |
1
|
eleq1i |
|- ( U e. CPreHilOLD <-> <. <. +h , .h >. , normh >. e. CPreHilOLD ) |
41 |
|
ablogrpo |
|- ( +h e. AbelOp -> +h e. GrpOp ) |
42 |
33 41
|
ax-mp |
|- +h e. GrpOp |
43 |
|
ax-hfvadd |
|- +h : ( ~H X. ~H ) --> ~H |
44 |
43
|
fdmi |
|- dom +h = ( ~H X. ~H ) |
45 |
42 44
|
grporn |
|- ~H = ran +h |
46 |
45
|
isphg |
|- ( ( +h e. _V /\ .h e. _V /\ normh e. _V ) -> ( <. <. +h , .h >. , normh >. e. CPreHilOLD <-> ( <. <. +h , .h >. , normh >. e. NrmCVec /\ A. x e. ~H A. y e. ~H ( ( ( normh ` ( x +h y ) ) ^ 2 ) + ( ( normh ` ( x +h ( -u 1 .h y ) ) ) ^ 2 ) ) = ( 2 x. ( ( ( normh ` x ) ^ 2 ) + ( ( normh ` y ) ^ 2 ) ) ) ) ) ) |
47 |
40 46
|
syl5bb |
|- ( ( +h e. _V /\ .h e. _V /\ normh e. _V ) -> ( U e. CPreHilOLD <-> ( <. <. +h , .h >. , normh >. e. NrmCVec /\ A. x e. ~H A. y e. ~H ( ( ( normh ` ( x +h y ) ) ^ 2 ) + ( ( normh ` ( x +h ( -u 1 .h y ) ) ) ^ 2 ) ) = ( 2 x. ( ( ( normh ` x ) ^ 2 ) + ( ( normh ` y ) ^ 2 ) ) ) ) ) ) |
48 |
34 35 39 47
|
mp3an |
|- ( U e. CPreHilOLD <-> ( <. <. +h , .h >. , normh >. e. NrmCVec /\ A. x e. ~H A. y e. ~H ( ( ( normh ` ( x +h y ) ) ^ 2 ) + ( ( normh ` ( x +h ( -u 1 .h y ) ) ) ^ 2 ) ) = ( 2 x. ( ( ( normh ` x ) ^ 2 ) + ( ( normh ` y ) ^ 2 ) ) ) ) ) |
49 |
3 32 48
|
mpbir2an |
|- U e. CPreHilOLD |