Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
hlatle.b |
|- B = ( Base ` K ) |
2 |
|
hlatle.l |
|- .<_ = ( le ` K ) |
3 |
|
hlatle.a |
|- A = ( Atoms ` K ) |
4 |
|
ralbiim |
|- ( A. p e. A ( p .<_ X <-> p .<_ Y ) <-> ( A. p e. A ( p .<_ X -> p .<_ Y ) /\ A. p e. A ( p .<_ Y -> p .<_ X ) ) ) |
5 |
1 2 3
|
hlatle |
|- ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .<_ Y <-> A. p e. A ( p .<_ X -> p .<_ Y ) ) ) |
6 |
1 2 3
|
hlatle |
|- ( ( K e. HL /\ Y e. B /\ X e. B ) -> ( Y .<_ X <-> A. p e. A ( p .<_ Y -> p .<_ X ) ) ) |
7 |
6
|
3com23 |
|- ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( Y .<_ X <-> A. p e. A ( p .<_ Y -> p .<_ X ) ) ) |
8 |
5 7
|
anbi12d |
|- ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X .<_ Y /\ Y .<_ X ) <-> ( A. p e. A ( p .<_ X -> p .<_ Y ) /\ A. p e. A ( p .<_ Y -> p .<_ X ) ) ) ) |
9 |
4 8
|
bitr4id |
|- ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( A. p e. A ( p .<_ X <-> p .<_ Y ) <-> ( X .<_ Y /\ Y .<_ X ) ) ) |
10 |
|
hllat |
|- ( K e. HL -> K e. Lat ) |
11 |
1 2
|
latasymb |
|- ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X .<_ Y /\ Y .<_ X ) <-> X = Y ) ) |
12 |
10 11
|
syl3an1 |
|- ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X .<_ Y /\ Y .<_ X ) <-> X = Y ) ) |
13 |
9 12
|
bitrd |
|- ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( A. p e. A ( p .<_ X <-> p .<_ Y ) <-> X = Y ) ) |