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Theorem hlrelat

Description: A Hilbert lattice is relatively atomic. Remark 2 of Kalmbach p. 149. ( chrelati analog.) (Contributed by NM, 4-Feb-2012)

Ref Expression
Hypotheses hlrelat5.b 
|- B = ( Base ` K )
hlrelat5.l 
|- .<_ = ( le ` K )
hlrelat5.s 
|- .< = ( lt ` K )
hlrelat5.j 
|- .\/ = ( join ` K )
hlrelat5.a 
|- A = ( Atoms ` K )
Assertion hlrelat 
|- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X .< Y ) -> E. p e. A ( X .< ( X .\/ p ) /\ ( X .\/ p ) .<_ Y ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 hlrelat5.b 
 |-  B = ( Base ` K )
2 hlrelat5.l 
 |-  .<_ = ( le ` K )
3 hlrelat5.s 
 |-  .< = ( lt ` K )
4 hlrelat5.j 
 |-  .\/ = ( join ` K )
5 hlrelat5.a 
 |-  A = ( Atoms ` K )
6 1 2 3 5 hlrelat1 
 |-  ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .< Y -> E. p e. A ( -. p .<_ X /\ p .<_ Y ) ) )
7 6 imp 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X .< Y ) -> E. p e. A ( -. p .<_ X /\ p .<_ Y ) )
8 simpll1 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X .< Y ) /\ p e. A ) -> K e. HL )
9 8 hllatd 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X .< Y ) /\ p e. A ) -> K e. Lat )
10 simpll2 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X .< Y ) /\ p e. A ) -> X e. B )
11 1 5 atbase 
 |-  ( p e. A -> p e. B )
12 11 adantl 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X .< Y ) /\ p e. A ) -> p e. B )
13 1 2 3 4 latnle 
 |-  ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ p e. B ) -> ( -. p .<_ X <-> X .< ( X .\/ p ) ) )
14 9 10 12 13 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X .< Y ) /\ p e. A ) -> ( -. p .<_ X <-> X .< ( X .\/ p ) ) )
15 2 3 pltle 
 |-  ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .< Y -> X .<_ Y ) )
16 15 imp 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X .< Y ) -> X .<_ Y )
17 16 adantr 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X .< Y ) /\ p e. A ) -> X .<_ Y )
18 17 biantrurd 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X .< Y ) /\ p e. A ) -> ( p .<_ Y <-> ( X .<_ Y /\ p .<_ Y ) ) )
19 simpll3 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X .< Y ) /\ p e. A ) -> Y e. B )
20 1 2 4 latjle12 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ p e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( X .<_ Y /\ p .<_ Y ) <-> ( X .\/ p ) .<_ Y ) )
21 9 10 12 19 20 syl13anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X .< Y ) /\ p e. A ) -> ( ( X .<_ Y /\ p .<_ Y ) <-> ( X .\/ p ) .<_ Y ) )
22 18 21 bitrd 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X .< Y ) /\ p e. A ) -> ( p .<_ Y <-> ( X .\/ p ) .<_ Y ) )
23 14 22 anbi12d 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X .< Y ) /\ p e. A ) -> ( ( -. p .<_ X /\ p .<_ Y ) <-> ( X .< ( X .\/ p ) /\ ( X .\/ p ) .<_ Y ) ) )
24 23 rexbidva 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X .< Y ) -> ( E. p e. A ( -. p .<_ X /\ p .<_ Y ) <-> E. p e. A ( X .< ( X .\/ p ) /\ ( X .\/ p ) .<_ Y ) ) )
25 7 24 mpbid 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ X .< Y ) -> E. p e. A ( X .< ( X .\/ p ) /\ ( X .\/ p ) .<_ Y ) )