Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
remulcl |
|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A x. B ) e. RR ) |
2 |
1
|
3ad2antr1 |
|- ( ( A e. RR /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B /\ B <_ 1 ) ) -> ( A x. B ) e. RR ) |
3 |
2
|
3ad2antl1 |
|- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A /\ A <_ 1 ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B /\ B <_ 1 ) ) -> ( A x. B ) e. RR ) |
4 |
|
mulge0 |
|- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> 0 <_ ( A x. B ) ) |
5 |
4
|
3adantr3 |
|- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B /\ B <_ 1 ) ) -> 0 <_ ( A x. B ) ) |
6 |
5
|
3adantl3 |
|- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A /\ A <_ 1 ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B /\ B <_ 1 ) ) -> 0 <_ ( A x. B ) ) |
7 |
|
an6 |
|- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A /\ A <_ 1 ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B /\ B <_ 1 ) ) <-> ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ 0 <_ B ) /\ ( A <_ 1 /\ B <_ 1 ) ) ) |
8 |
|
1re |
|- 1 e. RR |
9 |
|
lemul12a |
|- ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ 1 e. RR ) /\ ( ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ 1 e. RR ) ) -> ( ( A <_ 1 /\ B <_ 1 ) -> ( A x. B ) <_ ( 1 x. 1 ) ) ) |
10 |
8 9
|
mpanr2 |
|- ( ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ 1 e. RR ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( ( A <_ 1 /\ B <_ 1 ) -> ( A x. B ) <_ ( 1 x. 1 ) ) ) |
11 |
8 10
|
mpanl2 |
|- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( ( A <_ 1 /\ B <_ 1 ) -> ( A x. B ) <_ ( 1 x. 1 ) ) ) |
12 |
11
|
an4s |
|- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ 0 <_ B ) ) -> ( ( A <_ 1 /\ B <_ 1 ) -> ( A x. B ) <_ ( 1 x. 1 ) ) ) |
13 |
12
|
3impia |
|- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ 0 <_ B ) /\ ( A <_ 1 /\ B <_ 1 ) ) -> ( A x. B ) <_ ( 1 x. 1 ) ) |
14 |
7 13
|
sylbi |
|- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A /\ A <_ 1 ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B /\ B <_ 1 ) ) -> ( A x. B ) <_ ( 1 x. 1 ) ) |
15 |
|
1t1e1 |
|- ( 1 x. 1 ) = 1 |
16 |
14 15
|
breqtrdi |
|- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A /\ A <_ 1 ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B /\ B <_ 1 ) ) -> ( A x. B ) <_ 1 ) |
17 |
3 6 16
|
3jca |
|- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A /\ A <_ 1 ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B /\ B <_ 1 ) ) -> ( ( A x. B ) e. RR /\ 0 <_ ( A x. B ) /\ ( A x. B ) <_ 1 ) ) |
18 |
|
elicc01 |
|- ( A e. ( 0 [,] 1 ) <-> ( A e. RR /\ 0 <_ A /\ A <_ 1 ) ) |
19 |
|
elicc01 |
|- ( B e. ( 0 [,] 1 ) <-> ( B e. RR /\ 0 <_ B /\ B <_ 1 ) ) |
20 |
18 19
|
anbi12i |
|- ( ( A e. ( 0 [,] 1 ) /\ B e. ( 0 [,] 1 ) ) <-> ( ( A e. RR /\ 0 <_ A /\ A <_ 1 ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B /\ B <_ 1 ) ) ) |
21 |
|
elicc01 |
|- ( ( A x. B ) e. ( 0 [,] 1 ) <-> ( ( A x. B ) e. RR /\ 0 <_ ( A x. B ) /\ ( A x. B ) <_ 1 ) ) |
22 |
17 20 21
|
3imtr4i |
|- ( ( A e. ( 0 [,] 1 ) /\ B e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( A x. B ) e. ( 0 [,] 1 ) ) |