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Theorem inixp

Description: Intersection of Cartesian products over the same base set. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009)

Ref Expression
Assertion inixp 
|- ( X_ x e. A B i^i X_ x e. A C ) = X_ x e. A ( B i^i C )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 an4 
 |-  ( ( ( f Fn A /\ A. x e. A ( f ` x ) e. B ) /\ ( f Fn A /\ A. x e. A ( f ` x ) e. C ) ) <-> ( ( f Fn A /\ f Fn A ) /\ ( A. x e. A ( f ` x ) e. B /\ A. x e. A ( f ` x ) e. C ) ) )
2 anidm 
 |-  ( ( f Fn A /\ f Fn A ) <-> f Fn A )
3 r19.26 
 |-  ( A. x e. A ( ( f ` x ) e. B /\ ( f ` x ) e. C ) <-> ( A. x e. A ( f ` x ) e. B /\ A. x e. A ( f ` x ) e. C ) )
4 elin 
 |-  ( ( f ` x ) e. ( B i^i C ) <-> ( ( f ` x ) e. B /\ ( f ` x ) e. C ) )
5 4 bicomi 
 |-  ( ( ( f ` x ) e. B /\ ( f ` x ) e. C ) <-> ( f ` x ) e. ( B i^i C ) )
6 5 ralbii 
 |-  ( A. x e. A ( ( f ` x ) e. B /\ ( f ` x ) e. C ) <-> A. x e. A ( f ` x ) e. ( B i^i C ) )
7 3 6 bitr3i 
 |-  ( ( A. x e. A ( f ` x ) e. B /\ A. x e. A ( f ` x ) e. C ) <-> A. x e. A ( f ` x ) e. ( B i^i C ) )
8 2 7 anbi12i 
 |-  ( ( ( f Fn A /\ f Fn A ) /\ ( A. x e. A ( f ` x ) e. B /\ A. x e. A ( f ` x ) e. C ) ) <-> ( f Fn A /\ A. x e. A ( f ` x ) e. ( B i^i C ) ) )
9 1 8 bitri 
 |-  ( ( ( f Fn A /\ A. x e. A ( f ` x ) e. B ) /\ ( f Fn A /\ A. x e. A ( f ` x ) e. C ) ) <-> ( f Fn A /\ A. x e. A ( f ` x ) e. ( B i^i C ) ) )
10 vex 
 |-  f e. _V
11 10 elixp 
 |-  ( f e. X_ x e. A B <-> ( f Fn A /\ A. x e. A ( f ` x ) e. B ) )
12 10 elixp 
 |-  ( f e. X_ x e. A C <-> ( f Fn A /\ A. x e. A ( f ` x ) e. C ) )
13 11 12 anbi12i 
 |-  ( ( f e. X_ x e. A B /\ f e. X_ x e. A C ) <-> ( ( f Fn A /\ A. x e. A ( f ` x ) e. B ) /\ ( f Fn A /\ A. x e. A ( f ` x ) e. C ) ) )
14 10 elixp 
 |-  ( f e. X_ x e. A ( B i^i C ) <-> ( f Fn A /\ A. x e. A ( f ` x ) e. ( B i^i C ) ) )
15 9 13 14 3bitr4i 
 |-  ( ( f e. X_ x e. A B /\ f e. X_ x e. A C ) <-> f e. X_ x e. A ( B i^i C ) )
16 15 ineqri 
 |-  ( X_ x e. A B i^i X_ x e. A C ) = X_ x e. A ( B i^i C )