Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
issmfled.a |
|- F/ a ph |
2 |
|
issmfled.s |
|- ( ph -> S e. SAlg ) |
3 |
|
issmfled.d |
|- ( ph -> D C_ U. S ) |
4 |
|
issmfled.f |
|- ( ph -> F : D --> RR ) |
5 |
|
issmfled.6 |
|- ( ( ph /\ a e. RR ) -> { x e. D | ( F ` x ) <_ a } e. ( S |`t D ) ) |
6 |
4
|
fdmd |
|- ( ph -> dom F = D ) |
7 |
6 3
|
eqsstrd |
|- ( ph -> dom F C_ U. S ) |
8 |
4
|
ffdmd |
|- ( ph -> F : dom F --> RR ) |
9 |
6
|
rabeqdv |
|- ( ph -> { x e. dom F | ( F ` x ) <_ a } = { x e. D | ( F ` x ) <_ a } ) |
10 |
6
|
oveq2d |
|- ( ph -> ( S |`t dom F ) = ( S |`t D ) ) |
11 |
9 10
|
eleq12d |
|- ( ph -> ( { x e. dom F | ( F ` x ) <_ a } e. ( S |`t dom F ) <-> { x e. D | ( F ` x ) <_ a } e. ( S |`t D ) ) ) |
12 |
11
|
adantr |
|- ( ( ph /\ a e. RR ) -> ( { x e. dom F | ( F ` x ) <_ a } e. ( S |`t dom F ) <-> { x e. D | ( F ` x ) <_ a } e. ( S |`t D ) ) ) |
13 |
5 12
|
mpbird |
|- ( ( ph /\ a e. RR ) -> { x e. dom F | ( F ` x ) <_ a } e. ( S |`t dom F ) ) |
14 |
13
|
ex |
|- ( ph -> ( a e. RR -> { x e. dom F | ( F ` x ) <_ a } e. ( S |`t dom F ) ) ) |
15 |
1 14
|
ralrimi |
|- ( ph -> A. a e. RR { x e. dom F | ( F ` x ) <_ a } e. ( S |`t dom F ) ) |
16 |
7 8 15
|
3jca |
|- ( ph -> ( dom F C_ U. S /\ F : dom F --> RR /\ A. a e. RR { x e. dom F | ( F ` x ) <_ a } e. ( S |`t dom F ) ) ) |
17 |
|
eqid |
|- dom F = dom F |
18 |
2 17
|
issmfle |
|- ( ph -> ( F e. ( SMblFn ` S ) <-> ( dom F C_ U. S /\ F : dom F --> RR /\ A. a e. RR { x e. dom F | ( F ` x ) <_ a } e. ( S |`t dom F ) ) ) ) |
19 |
16 18
|
mpbird |
|- ( ph -> F e. ( SMblFn ` S ) ) |