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Theorem istopg

Description: Express the predicate " J is a topology". See istop2g for another characterization using nonempty finite intersections instead of binary intersections.

Note: In the literature, a topology is often represented by a calligraphic letter T, which resembles the letter J. This confusion may have led to J being used by some authors (e.g., K. D. Joshi, Introduction to General Topology (1983), p. 114) and it is convenient for us since we later use T to represent linear transformations (operators). (Contributed by Stefan Allan, 3-Mar-2006) (Revised by Mario Carneiro, 11-Nov-2013)

Ref Expression
Assertion istopg
|- ( J e. A -> ( J e. Top <-> ( A. x ( x C_ J -> U. x e. J ) /\ A. x e. J A. y e. J ( x i^i y ) e. J ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 pweq
 |-  ( z = J -> ~P z = ~P J )
2 eleq2
 |-  ( z = J -> ( U. x e. z <-> U. x e. J ) )
3 1 2 raleqbidv
 |-  ( z = J -> ( A. x e. ~P z U. x e. z <-> A. x e. ~P J U. x e. J ) )
4 eleq2
 |-  ( z = J -> ( ( x i^i y ) e. z <-> ( x i^i y ) e. J ) )
5 4 raleqbi1dv
 |-  ( z = J -> ( A. y e. z ( x i^i y ) e. z <-> A. y e. J ( x i^i y ) e. J ) )
6 5 raleqbi1dv
 |-  ( z = J -> ( A. x e. z A. y e. z ( x i^i y ) e. z <-> A. x e. J A. y e. J ( x i^i y ) e. J ) )
7 3 6 anbi12d
 |-  ( z = J -> ( ( A. x e. ~P z U. x e. z /\ A. x e. z A. y e. z ( x i^i y ) e. z ) <-> ( A. x e. ~P J U. x e. J /\ A. x e. J A. y e. J ( x i^i y ) e. J ) ) )
8 df-top
 |-  Top = { z | ( A. x e. ~P z U. x e. z /\ A. x e. z A. y e. z ( x i^i y ) e. z ) }
9 7 8 elab2g
 |-  ( J e. A -> ( J e. Top <-> ( A. x e. ~P J U. x e. J /\ A. x e. J A. y e. J ( x i^i y ) e. J ) ) )
10 df-ral
 |-  ( A. x e. ~P J U. x e. J <-> A. x ( x e. ~P J -> U. x e. J ) )
11 elpw2g
 |-  ( J e. A -> ( x e. ~P J <-> x C_ J ) )
12 11 imbi1d
 |-  ( J e. A -> ( ( x e. ~P J -> U. x e. J ) <-> ( x C_ J -> U. x e. J ) ) )
13 12 albidv
 |-  ( J e. A -> ( A. x ( x e. ~P J -> U. x e. J ) <-> A. x ( x C_ J -> U. x e. J ) ) )
14 10 13 syl5bb
 |-  ( J e. A -> ( A. x e. ~P J U. x e. J <-> A. x ( x C_ J -> U. x e. J ) ) )
15 14 anbi1d
 |-  ( J e. A -> ( ( A. x e. ~P J U. x e. J /\ A. x e. J A. y e. J ( x i^i y ) e. J ) <-> ( A. x ( x C_ J -> U. x e. J ) /\ A. x e. J A. y e. J ( x i^i y ) e. J ) ) )
16 9 15 bitrd
 |-  ( J e. A -> ( J e. Top <-> ( A. x ( x C_ J -> U. x e. J ) /\ A. x e. J A. y e. J ( x i^i y ) e. J ) ) )