Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
ordtr |
|- ( Ord B -> Tr B ) |
2 |
1
|
ralimi |
|- ( A. x e. A Ord B -> A. x e. A Tr B ) |
3 |
|
triun |
|- ( A. x e. A Tr B -> Tr U_ x e. A B ) |
4 |
2 3
|
syl |
|- ( A. x e. A Ord B -> Tr U_ x e. A B ) |
5 |
|
eliun |
|- ( y e. U_ x e. A B <-> E. x e. A y e. B ) |
6 |
|
nfra1 |
|- F/ x A. x e. A Ord B |
7 |
|
nfv |
|- F/ x y e. On |
8 |
|
rsp |
|- ( A. x e. A Ord B -> ( x e. A -> Ord B ) ) |
9 |
|
ordelon |
|- ( ( Ord B /\ y e. B ) -> y e. On ) |
10 |
9
|
ex |
|- ( Ord B -> ( y e. B -> y e. On ) ) |
11 |
8 10
|
syl6 |
|- ( A. x e. A Ord B -> ( x e. A -> ( y e. B -> y e. On ) ) ) |
12 |
6 7 11
|
rexlimd |
|- ( A. x e. A Ord B -> ( E. x e. A y e. B -> y e. On ) ) |
13 |
5 12
|
syl5bi |
|- ( A. x e. A Ord B -> ( y e. U_ x e. A B -> y e. On ) ) |
14 |
13
|
ssrdv |
|- ( A. x e. A Ord B -> U_ x e. A B C_ On ) |
15 |
|
ordon |
|- Ord On |
16 |
|
trssord |
|- ( ( Tr U_ x e. A B /\ U_ x e. A B C_ On /\ Ord On ) -> Ord U_ x e. A B ) |
17 |
16
|
3exp |
|- ( Tr U_ x e. A B -> ( U_ x e. A B C_ On -> ( Ord On -> Ord U_ x e. A B ) ) ) |
18 |
15 17
|
mpii |
|- ( Tr U_ x e. A B -> ( U_ x e. A B C_ On -> Ord U_ x e. A B ) ) |
19 |
4 14 18
|
sylc |
|- ( A. x e. A Ord B -> Ord U_ x e. A B ) |