Metamath Proof Explorer

Theorem latj13

Description: Swap 1st and 3rd members of lattice join. (Contributed by NM, 4-Jun-2012)

Ref Expression
Hypotheses latjass.b 
|- B = ( Base ` K )
latjass.j 
|- .\/ = ( join ` K )
Assertion latj13 
|- ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( X .\/ ( Y .\/ Z ) ) = ( Z .\/ ( Y .\/ X ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 latjass.b 
 |-  B = ( Base ` K )
2 latjass.j 
 |-  .\/ = ( join ` K )
3 simpl 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> K e. Lat )
4 simpr2 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> Y e. B )
5 simpr3 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> Z e. B )
6 simpr1 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> X e. B )
7 1 2 latj32 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( Y e. B /\ Z e. B /\ X e. B ) ) -> ( ( Y .\/ Z ) .\/ X ) = ( ( Y .\/ X ) .\/ Z ) )
8 3 4 5 6 7 syl13anc 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( Y .\/ Z ) .\/ X ) = ( ( Y .\/ X ) .\/ Z ) )
9 1 2 latjcl 
 |-  ( ( K e. Lat /\ Y e. B /\ Z e. B ) -> ( Y .\/ Z ) e. B )
10 9 3adant3r1 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( Y .\/ Z ) e. B )
11 1 2 latjcom 
 |-  ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ ( Y .\/ Z ) e. B ) -> ( X .\/ ( Y .\/ Z ) ) = ( ( Y .\/ Z ) .\/ X ) )
12 3 6 10 11 syl3anc 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( X .\/ ( Y .\/ Z ) ) = ( ( Y .\/ Z ) .\/ X ) )
13 1 2 latjcl 
 |-  ( ( K e. Lat /\ Y e. B /\ X e. B ) -> ( Y .\/ X ) e. B )
14 3 4 6 13 syl3anc 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( Y .\/ X ) e. B )
15 1 2 latjcom 
 |-  ( ( K e. Lat /\ Z e. B /\ ( Y .\/ X ) e. B ) -> ( Z .\/ ( Y .\/ X ) ) = ( ( Y .\/ X ) .\/ Z ) )
16 3 5 14 15 syl3anc 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( Z .\/ ( Y .\/ X ) ) = ( ( Y .\/ X ) .\/ Z ) )
17 8 12 16 3eqtr4d 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( X .\/ ( Y .\/ Z ) ) = ( Z .\/ ( Y .\/ X ) ) )