Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
lbsacsbs.1 |
|- A = ( LSubSp ` W ) |
2 |
|
lbsacsbs.2 |
|- N = ( mrCls ` A ) |
3 |
|
lbsacsbs.3 |
|- X = ( Base ` W ) |
4 |
|
lbsacsbs.4 |
|- I = ( mrInd ` A ) |
5 |
|
lbsacsbs.5 |
|- J = ( LBasis ` W ) |
6 |
|
eqid |
|- ( LSpan ` W ) = ( LSpan ` W ) |
7 |
3 5 6
|
islbs2 |
|- ( W e. LVec -> ( S e. J <-> ( S C_ X /\ ( ( LSpan ` W ) ` S ) = X /\ A. x e. S -. x e. ( ( LSpan ` W ) ` ( S \ { x } ) ) ) ) ) |
8 |
|
lveclmod |
|- ( W e. LVec -> W e. LMod ) |
9 |
1 6 2
|
mrclsp |
|- ( W e. LMod -> ( LSpan ` W ) = N ) |
10 |
8 9
|
syl |
|- ( W e. LVec -> ( LSpan ` W ) = N ) |
11 |
10
|
fveq1d |
|- ( W e. LVec -> ( ( LSpan ` W ) ` S ) = ( N ` S ) ) |
12 |
11
|
eqeq1d |
|- ( W e. LVec -> ( ( ( LSpan ` W ) ` S ) = X <-> ( N ` S ) = X ) ) |
13 |
10
|
fveq1d |
|- ( W e. LVec -> ( ( LSpan ` W ) ` ( S \ { x } ) ) = ( N ` ( S \ { x } ) ) ) |
14 |
13
|
eleq2d |
|- ( W e. LVec -> ( x e. ( ( LSpan ` W ) ` ( S \ { x } ) ) <-> x e. ( N ` ( S \ { x } ) ) ) ) |
15 |
14
|
notbid |
|- ( W e. LVec -> ( -. x e. ( ( LSpan ` W ) ` ( S \ { x } ) ) <-> -. x e. ( N ` ( S \ { x } ) ) ) ) |
16 |
15
|
ralbidv |
|- ( W e. LVec -> ( A. x e. S -. x e. ( ( LSpan ` W ) ` ( S \ { x } ) ) <-> A. x e. S -. x e. ( N ` ( S \ { x } ) ) ) ) |
17 |
12 16
|
3anbi23d |
|- ( W e. LVec -> ( ( S C_ X /\ ( ( LSpan ` W ) ` S ) = X /\ A. x e. S -. x e. ( ( LSpan ` W ) ` ( S \ { x } ) ) ) <-> ( S C_ X /\ ( N ` S ) = X /\ A. x e. S -. x e. ( N ` ( S \ { x } ) ) ) ) ) |
18 |
|
3anan32 |
|- ( ( S C_ X /\ ( N ` S ) = X /\ A. x e. S -. x e. ( N ` ( S \ { x } ) ) ) <-> ( ( S C_ X /\ A. x e. S -. x e. ( N ` ( S \ { x } ) ) ) /\ ( N ` S ) = X ) ) |
19 |
3 1
|
lssmre |
|- ( W e. LMod -> A e. ( Moore ` X ) ) |
20 |
2 4
|
ismri |
|- ( A e. ( Moore ` X ) -> ( S e. I <-> ( S C_ X /\ A. x e. S -. x e. ( N ` ( S \ { x } ) ) ) ) ) |
21 |
8 19 20
|
3syl |
|- ( W e. LVec -> ( S e. I <-> ( S C_ X /\ A. x e. S -. x e. ( N ` ( S \ { x } ) ) ) ) ) |
22 |
21
|
anbi1d |
|- ( W e. LVec -> ( ( S e. I /\ ( N ` S ) = X ) <-> ( ( S C_ X /\ A. x e. S -. x e. ( N ` ( S \ { x } ) ) ) /\ ( N ` S ) = X ) ) ) |
23 |
18 22
|
bitr4id |
|- ( W e. LVec -> ( ( S C_ X /\ ( N ` S ) = X /\ A. x e. S -. x e. ( N ` ( S \ { x } ) ) ) <-> ( S e. I /\ ( N ` S ) = X ) ) ) |
24 |
7 17 23
|
3bitrd |
|- ( W e. LVec -> ( S e. J <-> ( S e. I /\ ( N ` S ) = X ) ) ) |