lclkrlem2t

Description: Lemma for lclkr . We eliminate all hypotheses with B here. (Contributed by NM, 18-Jan-2015)

	Ref	Expression
Hypotheses	lclkrlem2m.v	\|- V = ( Base ` U )
	lclkrlem2m.t	\|- .x. = ( .s ` U )
	lclkrlem2m.s	\|- S = ( Scalar ` U )
	lclkrlem2m.q	\|- .X. = ( .r ` S )
	lclkrlem2m.z	\|- .0. = ( 0g ` S )
	lclkrlem2m.i	\|- I = ( invr ` S )
	lclkrlem2m.m	\|- .- = ( -g ` U )
	lclkrlem2m.f	\|- F = ( LFnl ` U )
	lclkrlem2m.d	\|- D = ( LDual ` U )
	lclkrlem2m.p	\|- .+ = ( +g ` D )
	lclkrlem2m.x	\|- ( ph -> X e. V )
	lclkrlem2m.y	\|- ( ph -> Y e. V )
	lclkrlem2m.e	\|- ( ph -> E e. F )
	lclkrlem2m.g	\|- ( ph -> G e. F )
	lclkrlem2n.n	\|- N = ( LSpan ` U )
	lclkrlem2n.l	\|- L = ( LKer ` U )
	lclkrlem2o.h	\|- H = ( LHyp ` K )
	lclkrlem2o.o	\|- ._\|_ = ( ( ocH ` K ) ` W )
	lclkrlem2o.u	\|- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
	lclkrlem2o.a	\|- .(+) = ( LSSum ` U )
	lclkrlem2o.k	\|- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
	lclkrlem2q.le	\|- ( ph -> ( L ` E ) = ( ._\|_ ` { X } ) )
	lclkrlem2q.lg	\|- ( ph -> ( L ` G ) = ( ._\|_ ` { Y } ) )
	lclkrlem2t.n	\|- ( ph -> ( ( E .+ G ) ` Y ) =/= .0. )
Assertion	lclkrlem2t	\|- ( ph -> ( ._\|_ ` ( ._\|_ ` ( L ` ( E .+ G ) ) ) ) = ( L ` ( E .+ G ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lclkrlem2m.v	\|- V = ( Base ` U )
2		lclkrlem2m.t	\|- .x. = ( .s ` U )
3		lclkrlem2m.s	\|- S = ( Scalar ` U )
4		lclkrlem2m.q	\|- .X. = ( .r ` S )
5		lclkrlem2m.z	\|- .0. = ( 0g ` S )
6		lclkrlem2m.i	\|- I = ( invr ` S )
7		lclkrlem2m.m	\|- .- = ( -g ` U )
8		lclkrlem2m.f	\|- F = ( LFnl ` U )
9		lclkrlem2m.d	\|- D = ( LDual ` U )
10		lclkrlem2m.p	\|- .+ = ( +g ` D )
11		lclkrlem2m.x	\|- ( ph -> X e. V )
12		lclkrlem2m.y	\|- ( ph -> Y e. V )
13		lclkrlem2m.e	\|- ( ph -> E e. F )
14		lclkrlem2m.g	\|- ( ph -> G e. F )
15		lclkrlem2n.n	\|- N = ( LSpan ` U )
16		lclkrlem2n.l	\|- L = ( LKer ` U )
17		lclkrlem2o.h	\|- H = ( LHyp ` K )
18		lclkrlem2o.o	\|- ._\|_ = ( ( ocH ` K ) ` W )
19		lclkrlem2o.u	\|- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
20		lclkrlem2o.a	\|- .(+) = ( LSSum ` U )
21		lclkrlem2o.k	\|- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
22		lclkrlem2q.le	\|- ( ph -> ( L ` E ) = ( ._\|_ ` { X } ) )
23		lclkrlem2q.lg	\|- ( ph -> ( L ` G ) = ( ._\|_ ` { Y } ) )
24		lclkrlem2t.n	\|- ( ph -> ( ( E .+ G ) ` Y ) =/= .0. )
25	11	adantr	\|- ( ( ph /\ ( X .- ( ( ( ( E .+ G ) ` X ) .X. ( I ` ( ( E .+ G ) ` Y ) ) ) .x. Y ) ) = ( 0g ` U ) ) -> X e. V )
26	12	adantr	\|- ( ( ph /\ ( X .- ( ( ( ( E .+ G ) ` X ) .X. ( I ` ( ( E .+ G ) ` Y ) ) ) .x. Y ) ) = ( 0g ` U ) ) -> Y e. V )
27	13	adantr	\|- ( ( ph /\ ( X .- ( ( ( ( E .+ G ) ` X ) .X. ( I ` ( ( E .+ G ) ` Y ) ) ) .x. Y ) ) = ( 0g ` U ) ) -> E e. F )
28	14	adantr	\|- ( ( ph /\ ( X .- ( ( ( ( E .+ G ) ` X ) .X. ( I ` ( ( E .+ G ) ` Y ) ) ) .x. Y ) ) = ( 0g ` U ) ) -> G e. F )
29	21	adantr	\|- ( ( ph /\ ( X .- ( ( ( ( E .+ G ) ` X ) .X. ( I ` ( ( E .+ G ) ` Y ) ) ) .x. Y ) ) = ( 0g ` U ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
30	22	adantr	\|- ( ( ph /\ ( X .- ( ( ( ( E .+ G ) ` X ) .X. ( I ` ( ( E .+ G ) ` Y ) ) ) .x. Y ) ) = ( 0g ` U ) ) -> ( L ` E ) = ( ._\|_ ` { X } ) )
31	23	adantr	\|- ( ( ph /\ ( X .- ( ( ( ( E .+ G ) ` X ) .X. ( I ` ( ( E .+ G ) ` Y ) ) ) .x. Y ) ) = ( 0g ` U ) ) -> ( L ` G ) = ( ._\|_ ` { Y } ) )
32		eqid	\|- ( X .- ( ( ( ( E .+ G ) ` X ) .X. ( I ` ( ( E .+ G ) ` Y ) ) ) .x. Y ) ) = ( X .- ( ( ( ( E .+ G ) ` X ) .X. ( I ` ( ( E .+ G ) ` Y ) ) ) .x. Y ) )
33	24	adantr	\|- ( ( ph /\ ( X .- ( ( ( ( E .+ G ) ` X ) .X. ( I ` ( ( E .+ G ) ` Y ) ) ) .x. Y ) ) = ( 0g ` U ) ) -> ( ( E .+ G ) ` Y ) =/= .0. )
34		simpr	\|- ( ( ph /\ ( X .- ( ( ( ( E .+ G ) ` X ) .X. ( I ` ( ( E .+ G ) ` Y ) ) ) .x. Y ) ) = ( 0g ` U ) ) -> ( X .- ( ( ( ( E .+ G ) ` X ) .X. ( I ` ( ( E .+ G ) ` Y ) ) ) .x. Y ) ) = ( 0g ` U ) )
35	1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 25 26 27 28 15 16 17 18 19 20 29 30 31 32 33 34	lclkrlem2s	\|- ( ( ph /\ ( X .- ( ( ( ( E .+ G ) ` X ) .X. ( I ` ( ( E .+ G ) ` Y ) ) ) .x. Y ) ) = ( 0g ` U ) ) -> ( ._\|_ ` ( ._\|_ ` ( L ` ( E .+ G ) ) ) ) = ( L ` ( E .+ G ) ) )
36	11	adantr	\|- ( ( ph /\ ( X .- ( ( ( ( E .+ G ) ` X ) .X. ( I ` ( ( E .+ G ) ` Y ) ) ) .x. Y ) ) =/= ( 0g ` U ) ) -> X e. V )
37	12	adantr	\|- ( ( ph /\ ( X .- ( ( ( ( E .+ G ) ` X ) .X. ( I ` ( ( E .+ G ) ` Y ) ) ) .x. Y ) ) =/= ( 0g ` U ) ) -> Y e. V )
38	13	adantr	\|- ( ( ph /\ ( X .- ( ( ( ( E .+ G ) ` X ) .X. ( I ` ( ( E .+ G ) ` Y ) ) ) .x. Y ) ) =/= ( 0g ` U ) ) -> E e. F )
39	14	adantr	\|- ( ( ph /\ ( X .- ( ( ( ( E .+ G ) ` X ) .X. ( I ` ( ( E .+ G ) ` Y ) ) ) .x. Y ) ) =/= ( 0g ` U ) ) -> G e. F )
40	21	adantr	\|- ( ( ph /\ ( X .- ( ( ( ( E .+ G ) ` X ) .X. ( I ` ( ( E .+ G ) ` Y ) ) ) .x. Y ) ) =/= ( 0g ` U ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
41	22	adantr	\|- ( ( ph /\ ( X .- ( ( ( ( E .+ G ) ` X ) .X. ( I ` ( ( E .+ G ) ` Y ) ) ) .x. Y ) ) =/= ( 0g ` U ) ) -> ( L ` E ) = ( ._\|_ ` { X } ) )
42	23	adantr	\|- ( ( ph /\ ( X .- ( ( ( ( E .+ G ) ` X ) .X. ( I ` ( ( E .+ G ) ` Y ) ) ) .x. Y ) ) =/= ( 0g ` U ) ) -> ( L ` G ) = ( ._\|_ ` { Y } ) )
43	24	adantr	\|- ( ( ph /\ ( X .- ( ( ( ( E .+ G ) ` X ) .X. ( I ` ( ( E .+ G ) ` Y ) ) ) .x. Y ) ) =/= ( 0g ` U ) ) -> ( ( E .+ G ) ` Y ) =/= .0. )
44		simpr	\|- ( ( ph /\ ( X .- ( ( ( ( E .+ G ) ` X ) .X. ( I ` ( ( E .+ G ) ` Y ) ) ) .x. Y ) ) =/= ( 0g ` U ) ) -> ( X .- ( ( ( ( E .+ G ) ` X ) .X. ( I ` ( ( E .+ G ) ` Y ) ) ) .x. Y ) ) =/= ( 0g ` U ) )
45	1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 36 37 38 39 15 16 17 18 19 20 40 41 42 32 43 44	lclkrlem2q	\|- ( ( ph /\ ( X .- ( ( ( ( E .+ G ) ` X ) .X. ( I ` ( ( E .+ G ) ` Y ) ) ) .x. Y ) ) =/= ( 0g ` U ) ) -> ( ._\|_ ` ( ._\|_ ` ( L ` ( E .+ G ) ) ) ) = ( L ` ( E .+ G ) ) )
46	35 45	pm2.61dane	\|- ( ph -> ( ._\|_ ` ( ._\|_ ` ( L ` ( E .+ G ) ) ) ) = ( L ` ( E .+ G ) ) )

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Theorem lclkrlem2t

Proof