Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
legval.p |
|- P = ( Base ` G ) |
2 |
|
legval.d |
|- .- = ( dist ` G ) |
3 |
|
legval.i |
|- I = ( Itv ` G ) |
4 |
|
legval.l |
|- .<_ = ( leG ` G ) |
5 |
|
legval.g |
|- ( ph -> G e. TarskiG ) |
6 |
|
legid.a |
|- ( ph -> A e. P ) |
7 |
|
legid.b |
|- ( ph -> B e. P ) |
8 |
|
legtrd.c |
|- ( ph -> C e. P ) |
9 |
|
legtrd.d |
|- ( ph -> D e. P ) |
10 |
|
legtrd.e |
|- ( ph -> E e. P ) |
11 |
|
legtrd.f |
|- ( ph -> F e. P ) |
12 |
|
legtrd.1 |
|- ( ph -> ( A .- B ) .<_ ( C .- D ) ) |
13 |
|
legtrd.2 |
|- ( ph -> ( C .- D ) .<_ ( E .- F ) ) |
14 |
|
eqid |
|- ( LineG ` G ) = ( LineG ` G ) |
15 |
5
|
ad4antr |
|- ( ( ( ( ( ph /\ x e. P ) /\ ( x e. ( C I D ) /\ ( A .- B ) = ( C .- x ) ) ) /\ y e. P ) /\ ( y e. ( E I F ) /\ ( C .- D ) = ( E .- y ) ) ) -> G e. TarskiG ) |
16 |
8
|
ad4antr |
|- ( ( ( ( ( ph /\ x e. P ) /\ ( x e. ( C I D ) /\ ( A .- B ) = ( C .- x ) ) ) /\ y e. P ) /\ ( y e. ( E I F ) /\ ( C .- D ) = ( E .- y ) ) ) -> C e. P ) |
17 |
9
|
ad4antr |
|- ( ( ( ( ( ph /\ x e. P ) /\ ( x e. ( C I D ) /\ ( A .- B ) = ( C .- x ) ) ) /\ y e. P ) /\ ( y e. ( E I F ) /\ ( C .- D ) = ( E .- y ) ) ) -> D e. P ) |
18 |
|
simp-4r |
|- ( ( ( ( ( ph /\ x e. P ) /\ ( x e. ( C I D ) /\ ( A .- B ) = ( C .- x ) ) ) /\ y e. P ) /\ ( y e. ( E I F ) /\ ( C .- D ) = ( E .- y ) ) ) -> x e. P ) |
19 |
|
eqid |
|- ( cgrG ` G ) = ( cgrG ` G ) |
20 |
10
|
ad4antr |
|- ( ( ( ( ( ph /\ x e. P ) /\ ( x e. ( C I D ) /\ ( A .- B ) = ( C .- x ) ) ) /\ y e. P ) /\ ( y e. ( E I F ) /\ ( C .- D ) = ( E .- y ) ) ) -> E e. P ) |
21 |
|
simplr |
|- ( ( ( ( ( ph /\ x e. P ) /\ ( x e. ( C I D ) /\ ( A .- B ) = ( C .- x ) ) ) /\ y e. P ) /\ ( y e. ( E I F ) /\ ( C .- D ) = ( E .- y ) ) ) -> y e. P ) |
22 |
|
simpllr |
|- ( ( ( ( ( ph /\ x e. P ) /\ ( x e. ( C I D ) /\ ( A .- B ) = ( C .- x ) ) ) /\ y e. P ) /\ ( y e. ( E I F ) /\ ( C .- D ) = ( E .- y ) ) ) -> ( x e. ( C I D ) /\ ( A .- B ) = ( C .- x ) ) ) |
23 |
22
|
simpld |
|- ( ( ( ( ( ph /\ x e. P ) /\ ( x e. ( C I D ) /\ ( A .- B ) = ( C .- x ) ) ) /\ y e. P ) /\ ( y e. ( E I F ) /\ ( C .- D ) = ( E .- y ) ) ) -> x e. ( C I D ) ) |
24 |
1 14 3 15 16 18 17 23
|
btwncolg3 |
|- ( ( ( ( ( ph /\ x e. P ) /\ ( x e. ( C I D ) /\ ( A .- B ) = ( C .- x ) ) ) /\ y e. P ) /\ ( y e. ( E I F ) /\ ( C .- D ) = ( E .- y ) ) ) -> ( D e. ( C ( LineG ` G ) x ) \/ C = x ) ) |
25 |
|
simprr |
|- ( ( ( ( ( ph /\ x e. P ) /\ ( x e. ( C I D ) /\ ( A .- B ) = ( C .- x ) ) ) /\ y e. P ) /\ ( y e. ( E I F ) /\ ( C .- D ) = ( E .- y ) ) ) -> ( C .- D ) = ( E .- y ) ) |
26 |
1 14 3 15 16 17 18 19 20 21 2 24 25
|
lnext |
|- ( ( ( ( ( ph /\ x e. P ) /\ ( x e. ( C I D ) /\ ( A .- B ) = ( C .- x ) ) ) /\ y e. P ) /\ ( y e. ( E I F ) /\ ( C .- D ) = ( E .- y ) ) ) -> E. z e. P <" C D x "> ( cgrG ` G ) <" E y z "> ) |
27 |
15
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. P ) /\ ( x e. ( C I D ) /\ ( A .- B ) = ( C .- x ) ) ) /\ y e. P ) /\ ( y e. ( E I F ) /\ ( C .- D ) = ( E .- y ) ) ) /\ z e. P ) /\ <" C D x "> ( cgrG ` G ) <" E y z "> ) -> G e. TarskiG ) |
28 |
20
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. P ) /\ ( x e. ( C I D ) /\ ( A .- B ) = ( C .- x ) ) ) /\ y e. P ) /\ ( y e. ( E I F ) /\ ( C .- D ) = ( E .- y ) ) ) /\ z e. P ) /\ <" C D x "> ( cgrG ` G ) <" E y z "> ) -> E e. P ) |
29 |
|
simplr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. P ) /\ ( x e. ( C I D ) /\ ( A .- B ) = ( C .- x ) ) ) /\ y e. P ) /\ ( y e. ( E I F ) /\ ( C .- D ) = ( E .- y ) ) ) /\ z e. P ) /\ <" C D x "> ( cgrG ` G ) <" E y z "> ) -> z e. P ) |
30 |
|
simp-4r |
|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. P ) /\ ( x e. ( C I D ) /\ ( A .- B ) = ( C .- x ) ) ) /\ y e. P ) /\ ( y e. ( E I F ) /\ ( C .- D ) = ( E .- y ) ) ) /\ z e. P ) /\ <" C D x "> ( cgrG ` G ) <" E y z "> ) -> y e. P ) |
31 |
11
|
ad6antr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. P ) /\ ( x e. ( C I D ) /\ ( A .- B ) = ( C .- x ) ) ) /\ y e. P ) /\ ( y e. ( E I F ) /\ ( C .- D ) = ( E .- y ) ) ) /\ z e. P ) /\ <" C D x "> ( cgrG ` G ) <" E y z "> ) -> F e. P ) |
32 |
16
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. P ) /\ ( x e. ( C I D ) /\ ( A .- B ) = ( C .- x ) ) ) /\ y e. P ) /\ ( y e. ( E I F ) /\ ( C .- D ) = ( E .- y ) ) ) /\ z e. P ) /\ <" C D x "> ( cgrG ` G ) <" E y z "> ) -> C e. P ) |
33 |
18
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. P ) /\ ( x e. ( C I D ) /\ ( A .- B ) = ( C .- x ) ) ) /\ y e. P ) /\ ( y e. ( E I F ) /\ ( C .- D ) = ( E .- y ) ) ) /\ z e. P ) /\ <" C D x "> ( cgrG ` G ) <" E y z "> ) -> x e. P ) |
34 |
17
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. P ) /\ ( x e. ( C I D ) /\ ( A .- B ) = ( C .- x ) ) ) /\ y e. P ) /\ ( y e. ( E I F ) /\ ( C .- D ) = ( E .- y ) ) ) /\ z e. P ) /\ <" C D x "> ( cgrG ` G ) <" E y z "> ) -> D e. P ) |
35 |
|
simpr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. P ) /\ ( x e. ( C I D ) /\ ( A .- B ) = ( C .- x ) ) ) /\ y e. P ) /\ ( y e. ( E I F ) /\ ( C .- D ) = ( E .- y ) ) ) /\ z e. P ) /\ <" C D x "> ( cgrG ` G ) <" E y z "> ) -> <" C D x "> ( cgrG ` G ) <" E y z "> ) |
36 |
1 2 3 19 27 32 34 33 28 30 29 35
|
cgr3swap23 |
|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. P ) /\ ( x e. ( C I D ) /\ ( A .- B ) = ( C .- x ) ) ) /\ y e. P ) /\ ( y e. ( E I F ) /\ ( C .- D ) = ( E .- y ) ) ) /\ z e. P ) /\ <" C D x "> ( cgrG ` G ) <" E y z "> ) -> <" C x D "> ( cgrG ` G ) <" E z y "> ) |
37 |
23
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. P ) /\ ( x e. ( C I D ) /\ ( A .- B ) = ( C .- x ) ) ) /\ y e. P ) /\ ( y e. ( E I F ) /\ ( C .- D ) = ( E .- y ) ) ) /\ z e. P ) /\ <" C D x "> ( cgrG ` G ) <" E y z "> ) -> x e. ( C I D ) ) |
38 |
1 2 3 19 27 32 33 34 28 29 30 36 37
|
tgbtwnxfr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. P ) /\ ( x e. ( C I D ) /\ ( A .- B ) = ( C .- x ) ) ) /\ y e. P ) /\ ( y e. ( E I F ) /\ ( C .- D ) = ( E .- y ) ) ) /\ z e. P ) /\ <" C D x "> ( cgrG ` G ) <" E y z "> ) -> z e. ( E I y ) ) |
39 |
|
simpllr |
|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. P ) /\ ( x e. ( C I D ) /\ ( A .- B ) = ( C .- x ) ) ) /\ y e. P ) /\ ( y e. ( E I F ) /\ ( C .- D ) = ( E .- y ) ) ) /\ z e. P ) /\ <" C D x "> ( cgrG ` G ) <" E y z "> ) -> ( y e. ( E I F ) /\ ( C .- D ) = ( E .- y ) ) ) |
40 |
39
|
simpld |
|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. P ) /\ ( x e. ( C I D ) /\ ( A .- B ) = ( C .- x ) ) ) /\ y e. P ) /\ ( y e. ( E I F ) /\ ( C .- D ) = ( E .- y ) ) ) /\ z e. P ) /\ <" C D x "> ( cgrG ` G ) <" E y z "> ) -> y e. ( E I F ) ) |
41 |
1 2 3 27 28 29 30 31 38 40
|
tgbtwnexch |
|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. P ) /\ ( x e. ( C I D ) /\ ( A .- B ) = ( C .- x ) ) ) /\ y e. P ) /\ ( y e. ( E I F ) /\ ( C .- D ) = ( E .- y ) ) ) /\ z e. P ) /\ <" C D x "> ( cgrG ` G ) <" E y z "> ) -> z e. ( E I F ) ) |
42 |
|
simp-5r |
|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. P ) /\ ( x e. ( C I D ) /\ ( A .- B ) = ( C .- x ) ) ) /\ y e. P ) /\ ( y e. ( E I F ) /\ ( C .- D ) = ( E .- y ) ) ) /\ z e. P ) /\ <" C D x "> ( cgrG ` G ) <" E y z "> ) -> ( x e. ( C I D ) /\ ( A .- B ) = ( C .- x ) ) ) |
43 |
42
|
simprd |
|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. P ) /\ ( x e. ( C I D ) /\ ( A .- B ) = ( C .- x ) ) ) /\ y e. P ) /\ ( y e. ( E I F ) /\ ( C .- D ) = ( E .- y ) ) ) /\ z e. P ) /\ <" C D x "> ( cgrG ` G ) <" E y z "> ) -> ( A .- B ) = ( C .- x ) ) |
44 |
1 2 3 19 27 32 33 34 28 29 30 36
|
cgr3simp1 |
|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. P ) /\ ( x e. ( C I D ) /\ ( A .- B ) = ( C .- x ) ) ) /\ y e. P ) /\ ( y e. ( E I F ) /\ ( C .- D ) = ( E .- y ) ) ) /\ z e. P ) /\ <" C D x "> ( cgrG ` G ) <" E y z "> ) -> ( C .- x ) = ( E .- z ) ) |
45 |
43 44
|
eqtrd |
|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. P ) /\ ( x e. ( C I D ) /\ ( A .- B ) = ( C .- x ) ) ) /\ y e. P ) /\ ( y e. ( E I F ) /\ ( C .- D ) = ( E .- y ) ) ) /\ z e. P ) /\ <" C D x "> ( cgrG ` G ) <" E y z "> ) -> ( A .- B ) = ( E .- z ) ) |
46 |
41 45
|
jca |
|- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. P ) /\ ( x e. ( C I D ) /\ ( A .- B ) = ( C .- x ) ) ) /\ y e. P ) /\ ( y e. ( E I F ) /\ ( C .- D ) = ( E .- y ) ) ) /\ z e. P ) /\ <" C D x "> ( cgrG ` G ) <" E y z "> ) -> ( z e. ( E I F ) /\ ( A .- B ) = ( E .- z ) ) ) |
47 |
46
|
ex |
|- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. P ) /\ ( x e. ( C I D ) /\ ( A .- B ) = ( C .- x ) ) ) /\ y e. P ) /\ ( y e. ( E I F ) /\ ( C .- D ) = ( E .- y ) ) ) /\ z e. P ) -> ( <" C D x "> ( cgrG ` G ) <" E y z "> -> ( z e. ( E I F ) /\ ( A .- B ) = ( E .- z ) ) ) ) |
48 |
47
|
reximdva |
|- ( ( ( ( ( ph /\ x e. P ) /\ ( x e. ( C I D ) /\ ( A .- B ) = ( C .- x ) ) ) /\ y e. P ) /\ ( y e. ( E I F ) /\ ( C .- D ) = ( E .- y ) ) ) -> ( E. z e. P <" C D x "> ( cgrG ` G ) <" E y z "> -> E. z e. P ( z e. ( E I F ) /\ ( A .- B ) = ( E .- z ) ) ) ) |
49 |
26 48
|
mpd |
|- ( ( ( ( ( ph /\ x e. P ) /\ ( x e. ( C I D ) /\ ( A .- B ) = ( C .- x ) ) ) /\ y e. P ) /\ ( y e. ( E I F ) /\ ( C .- D ) = ( E .- y ) ) ) -> E. z e. P ( z e. ( E I F ) /\ ( A .- B ) = ( E .- z ) ) ) |
50 |
1 2 3 4 5 8 9 10 11
|
legov |
|- ( ph -> ( ( C .- D ) .<_ ( E .- F ) <-> E. y e. P ( y e. ( E I F ) /\ ( C .- D ) = ( E .- y ) ) ) ) |
51 |
13 50
|
mpbid |
|- ( ph -> E. y e. P ( y e. ( E I F ) /\ ( C .- D ) = ( E .- y ) ) ) |
52 |
51
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ x e. P ) /\ ( x e. ( C I D ) /\ ( A .- B ) = ( C .- x ) ) ) -> E. y e. P ( y e. ( E I F ) /\ ( C .- D ) = ( E .- y ) ) ) |
53 |
49 52
|
r19.29a |
|- ( ( ( ph /\ x e. P ) /\ ( x e. ( C I D ) /\ ( A .- B ) = ( C .- x ) ) ) -> E. z e. P ( z e. ( E I F ) /\ ( A .- B ) = ( E .- z ) ) ) |
54 |
1 2 3 4 5 6 7 8 9
|
legov |
|- ( ph -> ( ( A .- B ) .<_ ( C .- D ) <-> E. x e. P ( x e. ( C I D ) /\ ( A .- B ) = ( C .- x ) ) ) ) |
55 |
12 54
|
mpbid |
|- ( ph -> E. x e. P ( x e. ( C I D ) /\ ( A .- B ) = ( C .- x ) ) ) |
56 |
53 55
|
r19.29a |
|- ( ph -> E. z e. P ( z e. ( E I F ) /\ ( A .- B ) = ( E .- z ) ) ) |
57 |
1 2 3 4 5 6 7 10 11
|
legov |
|- ( ph -> ( ( A .- B ) .<_ ( E .- F ) <-> E. z e. P ( z e. ( E I F ) /\ ( A .- B ) = ( E .- z ) ) ) ) |
58 |
56 57
|
mpbird |
|- ( ph -> ( A .- B ) .<_ ( E .- F ) ) |