Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
legval.p |
⊢ 𝑃 = ( Base ‘ 𝐺 ) |
2 |
|
legval.d |
⊢ − = ( dist ‘ 𝐺 ) |
3 |
|
legval.i |
⊢ 𝐼 = ( Itv ‘ 𝐺 ) |
4 |
|
legval.l |
⊢ ≤ = ( ≤G ‘ 𝐺 ) |
5 |
|
legval.g |
⊢ ( 𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG ) |
6 |
|
legid.a |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃 ) |
7 |
|
legid.b |
⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃 ) |
8 |
|
legtrd.c |
⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃 ) |
9 |
|
legtrd.d |
⊢ ( 𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃 ) |
10 |
|
legtrd.e |
⊢ ( 𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃 ) |
11 |
|
legtrd.f |
⊢ ( 𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃 ) |
12 |
|
legtrd.1 |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 − 𝐵 ) ≤ ( 𝐶 − 𝐷 ) ) |
13 |
|
legtrd.2 |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐶 − 𝐷 ) ≤ ( 𝐸 − 𝐹 ) ) |
14 |
|
eqid |
⊢ ( LineG ‘ 𝐺 ) = ( LineG ‘ 𝐺 ) |
15 |
5
|
ad4antr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝐶 − 𝑥 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝐸 𝐼 𝐹 ) ∧ ( 𝐶 − 𝐷 ) = ( 𝐸 − 𝑦 ) ) ) → 𝐺 ∈ TarskiG ) |
16 |
8
|
ad4antr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝐶 − 𝑥 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝐸 𝐼 𝐹 ) ∧ ( 𝐶 − 𝐷 ) = ( 𝐸 − 𝑦 ) ) ) → 𝐶 ∈ 𝑃 ) |
17 |
9
|
ad4antr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝐶 − 𝑥 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝐸 𝐼 𝐹 ) ∧ ( 𝐶 − 𝐷 ) = ( 𝐸 − 𝑦 ) ) ) → 𝐷 ∈ 𝑃 ) |
18 |
|
simp-4r |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝐶 − 𝑥 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝐸 𝐼 𝐹 ) ∧ ( 𝐶 − 𝐷 ) = ( 𝐸 − 𝑦 ) ) ) → 𝑥 ∈ 𝑃 ) |
19 |
|
eqid |
⊢ ( cgrG ‘ 𝐺 ) = ( cgrG ‘ 𝐺 ) |
20 |
10
|
ad4antr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝐶 − 𝑥 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝐸 𝐼 𝐹 ) ∧ ( 𝐶 − 𝐷 ) = ( 𝐸 − 𝑦 ) ) ) → 𝐸 ∈ 𝑃 ) |
21 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝐶 − 𝑥 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝐸 𝐼 𝐹 ) ∧ ( 𝐶 − 𝐷 ) = ( 𝐸 − 𝑦 ) ) ) → 𝑦 ∈ 𝑃 ) |
22 |
|
simpllr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝐶 − 𝑥 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝐸 𝐼 𝐹 ) ∧ ( 𝐶 − 𝐷 ) = ( 𝐸 − 𝑦 ) ) ) → ( 𝑥 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝐶 − 𝑥 ) ) ) |
23 |
22
|
simpld |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝐶 − 𝑥 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝐸 𝐼 𝐹 ) ∧ ( 𝐶 − 𝐷 ) = ( 𝐸 − 𝑦 ) ) ) → 𝑥 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐷 ) ) |
24 |
1 14 3 15 16 18 17 23
|
btwncolg3 |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝐶 − 𝑥 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝐸 𝐼 𝐹 ) ∧ ( 𝐶 − 𝐷 ) = ( 𝐸 − 𝑦 ) ) ) → ( 𝐷 ∈ ( 𝐶 ( LineG ‘ 𝐺 ) 𝑥 ) ∨ 𝐶 = 𝑥 ) ) |
25 |
|
simprr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝐶 − 𝑥 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝐸 𝐼 𝐹 ) ∧ ( 𝐶 − 𝐷 ) = ( 𝐸 − 𝑦 ) ) ) → ( 𝐶 − 𝐷 ) = ( 𝐸 − 𝑦 ) ) |
26 |
1 14 3 15 16 17 18 19 20 21 2 24 25
|
lnext |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝐶 − 𝑥 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝐸 𝐼 𝐹 ) ∧ ( 𝐶 − 𝐷 ) = ( 𝐸 − 𝑦 ) ) ) → ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 〈“ 𝐶 𝐷 𝑥 ”〉 ( cgrG ‘ 𝐺 ) 〈“ 𝐸 𝑦 𝑧 ”〉 ) |
27 |
15
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝐶 − 𝑥 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝐸 𝐼 𝐹 ) ∧ ( 𝐶 − 𝐷 ) = ( 𝐸 − 𝑦 ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 〈“ 𝐶 𝐷 𝑥 ”〉 ( cgrG ‘ 𝐺 ) 〈“ 𝐸 𝑦 𝑧 ”〉 ) → 𝐺 ∈ TarskiG ) |
28 |
20
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝐶 − 𝑥 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝐸 𝐼 𝐹 ) ∧ ( 𝐶 − 𝐷 ) = ( 𝐸 − 𝑦 ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 〈“ 𝐶 𝐷 𝑥 ”〉 ( cgrG ‘ 𝐺 ) 〈“ 𝐸 𝑦 𝑧 ”〉 ) → 𝐸 ∈ 𝑃 ) |
29 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝐶 − 𝑥 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝐸 𝐼 𝐹 ) ∧ ( 𝐶 − 𝐷 ) = ( 𝐸 − 𝑦 ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 〈“ 𝐶 𝐷 𝑥 ”〉 ( cgrG ‘ 𝐺 ) 〈“ 𝐸 𝑦 𝑧 ”〉 ) → 𝑧 ∈ 𝑃 ) |
30 |
|
simp-4r |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝐶 − 𝑥 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝐸 𝐼 𝐹 ) ∧ ( 𝐶 − 𝐷 ) = ( 𝐸 − 𝑦 ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 〈“ 𝐶 𝐷 𝑥 ”〉 ( cgrG ‘ 𝐺 ) 〈“ 𝐸 𝑦 𝑧 ”〉 ) → 𝑦 ∈ 𝑃 ) |
31 |
11
|
ad6antr |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝐶 − 𝑥 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝐸 𝐼 𝐹 ) ∧ ( 𝐶 − 𝐷 ) = ( 𝐸 − 𝑦 ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 〈“ 𝐶 𝐷 𝑥 ”〉 ( cgrG ‘ 𝐺 ) 〈“ 𝐸 𝑦 𝑧 ”〉 ) → 𝐹 ∈ 𝑃 ) |
32 |
16
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝐶 − 𝑥 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝐸 𝐼 𝐹 ) ∧ ( 𝐶 − 𝐷 ) = ( 𝐸 − 𝑦 ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 〈“ 𝐶 𝐷 𝑥 ”〉 ( cgrG ‘ 𝐺 ) 〈“ 𝐸 𝑦 𝑧 ”〉 ) → 𝐶 ∈ 𝑃 ) |
33 |
18
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝐶 − 𝑥 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝐸 𝐼 𝐹 ) ∧ ( 𝐶 − 𝐷 ) = ( 𝐸 − 𝑦 ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 〈“ 𝐶 𝐷 𝑥 ”〉 ( cgrG ‘ 𝐺 ) 〈“ 𝐸 𝑦 𝑧 ”〉 ) → 𝑥 ∈ 𝑃 ) |
34 |
17
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝐶 − 𝑥 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝐸 𝐼 𝐹 ) ∧ ( 𝐶 − 𝐷 ) = ( 𝐸 − 𝑦 ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 〈“ 𝐶 𝐷 𝑥 ”〉 ( cgrG ‘ 𝐺 ) 〈“ 𝐸 𝑦 𝑧 ”〉 ) → 𝐷 ∈ 𝑃 ) |
35 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝐶 − 𝑥 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝐸 𝐼 𝐹 ) ∧ ( 𝐶 − 𝐷 ) = ( 𝐸 − 𝑦 ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 〈“ 𝐶 𝐷 𝑥 ”〉 ( cgrG ‘ 𝐺 ) 〈“ 𝐸 𝑦 𝑧 ”〉 ) → 〈“ 𝐶 𝐷 𝑥 ”〉 ( cgrG ‘ 𝐺 ) 〈“ 𝐸 𝑦 𝑧 ”〉 ) |
36 |
1 2 3 19 27 32 34 33 28 30 29 35
|
cgr3swap23 |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝐶 − 𝑥 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝐸 𝐼 𝐹 ) ∧ ( 𝐶 − 𝐷 ) = ( 𝐸 − 𝑦 ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 〈“ 𝐶 𝐷 𝑥 ”〉 ( cgrG ‘ 𝐺 ) 〈“ 𝐸 𝑦 𝑧 ”〉 ) → 〈“ 𝐶 𝑥 𝐷 ”〉 ( cgrG ‘ 𝐺 ) 〈“ 𝐸 𝑧 𝑦 ”〉 ) |
37 |
23
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝐶 − 𝑥 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝐸 𝐼 𝐹 ) ∧ ( 𝐶 − 𝐷 ) = ( 𝐸 − 𝑦 ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 〈“ 𝐶 𝐷 𝑥 ”〉 ( cgrG ‘ 𝐺 ) 〈“ 𝐸 𝑦 𝑧 ”〉 ) → 𝑥 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐷 ) ) |
38 |
1 2 3 19 27 32 33 34 28 29 30 36 37
|
tgbtwnxfr |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝐶 − 𝑥 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝐸 𝐼 𝐹 ) ∧ ( 𝐶 − 𝐷 ) = ( 𝐸 − 𝑦 ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 〈“ 𝐶 𝐷 𝑥 ”〉 ( cgrG ‘ 𝐺 ) 〈“ 𝐸 𝑦 𝑧 ”〉 ) → 𝑧 ∈ ( 𝐸 𝐼 𝑦 ) ) |
39 |
|
simpllr |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝐶 − 𝑥 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝐸 𝐼 𝐹 ) ∧ ( 𝐶 − 𝐷 ) = ( 𝐸 − 𝑦 ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 〈“ 𝐶 𝐷 𝑥 ”〉 ( cgrG ‘ 𝐺 ) 〈“ 𝐸 𝑦 𝑧 ”〉 ) → ( 𝑦 ∈ ( 𝐸 𝐼 𝐹 ) ∧ ( 𝐶 − 𝐷 ) = ( 𝐸 − 𝑦 ) ) ) |
40 |
39
|
simpld |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝐶 − 𝑥 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝐸 𝐼 𝐹 ) ∧ ( 𝐶 − 𝐷 ) = ( 𝐸 − 𝑦 ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 〈“ 𝐶 𝐷 𝑥 ”〉 ( cgrG ‘ 𝐺 ) 〈“ 𝐸 𝑦 𝑧 ”〉 ) → 𝑦 ∈ ( 𝐸 𝐼 𝐹 ) ) |
41 |
1 2 3 27 28 29 30 31 38 40
|
tgbtwnexch |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝐶 − 𝑥 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝐸 𝐼 𝐹 ) ∧ ( 𝐶 − 𝐷 ) = ( 𝐸 − 𝑦 ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 〈“ 𝐶 𝐷 𝑥 ”〉 ( cgrG ‘ 𝐺 ) 〈“ 𝐸 𝑦 𝑧 ”〉 ) → 𝑧 ∈ ( 𝐸 𝐼 𝐹 ) ) |
42 |
|
simp-5r |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝐶 − 𝑥 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝐸 𝐼 𝐹 ) ∧ ( 𝐶 − 𝐷 ) = ( 𝐸 − 𝑦 ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 〈“ 𝐶 𝐷 𝑥 ”〉 ( cgrG ‘ 𝐺 ) 〈“ 𝐸 𝑦 𝑧 ”〉 ) → ( 𝑥 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝐶 − 𝑥 ) ) ) |
43 |
42
|
simprd |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝐶 − 𝑥 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝐸 𝐼 𝐹 ) ∧ ( 𝐶 − 𝐷 ) = ( 𝐸 − 𝑦 ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 〈“ 𝐶 𝐷 𝑥 ”〉 ( cgrG ‘ 𝐺 ) 〈“ 𝐸 𝑦 𝑧 ”〉 ) → ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝐶 − 𝑥 ) ) |
44 |
1 2 3 19 27 32 33 34 28 29 30 36
|
cgr3simp1 |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝐶 − 𝑥 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝐸 𝐼 𝐹 ) ∧ ( 𝐶 − 𝐷 ) = ( 𝐸 − 𝑦 ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 〈“ 𝐶 𝐷 𝑥 ”〉 ( cgrG ‘ 𝐺 ) 〈“ 𝐸 𝑦 𝑧 ”〉 ) → ( 𝐶 − 𝑥 ) = ( 𝐸 − 𝑧 ) ) |
45 |
43 44
|
eqtrd |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝐶 − 𝑥 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝐸 𝐼 𝐹 ) ∧ ( 𝐶 − 𝐷 ) = ( 𝐸 − 𝑦 ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 〈“ 𝐶 𝐷 𝑥 ”〉 ( cgrG ‘ 𝐺 ) 〈“ 𝐸 𝑦 𝑧 ”〉 ) → ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝐸 − 𝑧 ) ) |
46 |
41 45
|
jca |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝐶 − 𝑥 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝐸 𝐼 𝐹 ) ∧ ( 𝐶 − 𝐷 ) = ( 𝐸 − 𝑦 ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ 〈“ 𝐶 𝐷 𝑥 ”〉 ( cgrG ‘ 𝐺 ) 〈“ 𝐸 𝑦 𝑧 ”〉 ) → ( 𝑧 ∈ ( 𝐸 𝐼 𝐹 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝐸 − 𝑧 ) ) ) |
47 |
46
|
ex |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝐶 − 𝑥 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝐸 𝐼 𝐹 ) ∧ ( 𝐶 − 𝐷 ) = ( 𝐸 − 𝑦 ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) → ( 〈“ 𝐶 𝐷 𝑥 ”〉 ( cgrG ‘ 𝐺 ) 〈“ 𝐸 𝑦 𝑧 ”〉 → ( 𝑧 ∈ ( 𝐸 𝐼 𝐹 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝐸 − 𝑧 ) ) ) ) |
48 |
47
|
reximdva |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝐶 − 𝑥 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝐸 𝐼 𝐹 ) ∧ ( 𝐶 − 𝐷 ) = ( 𝐸 − 𝑦 ) ) ) → ( ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 〈“ 𝐶 𝐷 𝑥 ”〉 ( cgrG ‘ 𝐺 ) 〈“ 𝐸 𝑦 𝑧 ”〉 → ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝐸 𝐼 𝐹 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝐸 − 𝑧 ) ) ) ) |
49 |
26 48
|
mpd |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝐶 − 𝑥 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝐸 𝐼 𝐹 ) ∧ ( 𝐶 − 𝐷 ) = ( 𝐸 − 𝑦 ) ) ) → ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝐸 𝐼 𝐹 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝐸 − 𝑧 ) ) ) |
50 |
1 2 3 4 5 8 9 10 11
|
legov |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐶 − 𝐷 ) ≤ ( 𝐸 − 𝐹 ) ↔ ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ( 𝑦 ∈ ( 𝐸 𝐼 𝐹 ) ∧ ( 𝐶 − 𝐷 ) = ( 𝐸 − 𝑦 ) ) ) ) |
51 |
13 50
|
mpbid |
⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ( 𝑦 ∈ ( 𝐸 𝐼 𝐹 ) ∧ ( 𝐶 − 𝐷 ) = ( 𝐸 − 𝑦 ) ) ) |
52 |
51
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝐶 − 𝑥 ) ) ) → ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ( 𝑦 ∈ ( 𝐸 𝐼 𝐹 ) ∧ ( 𝐶 − 𝐷 ) = ( 𝐸 − 𝑦 ) ) ) |
53 |
49 52
|
r19.29a |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝐶 − 𝑥 ) ) ) → ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝐸 𝐼 𝐹 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝐸 − 𝑧 ) ) ) |
54 |
1 2 3 4 5 6 7 8 9
|
legov |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐴 − 𝐵 ) ≤ ( 𝐶 − 𝐷 ) ↔ ∃ 𝑥 ∈ 𝑃 ( 𝑥 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝐶 − 𝑥 ) ) ) ) |
55 |
12 54
|
mpbid |
⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑥 ∈ 𝑃 ( 𝑥 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐷 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝐶 − 𝑥 ) ) ) |
56 |
53 55
|
r19.29a |
⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝐸 𝐼 𝐹 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝐸 − 𝑧 ) ) ) |
57 |
1 2 3 4 5 6 7 10 11
|
legov |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐴 − 𝐵 ) ≤ ( 𝐸 − 𝐹 ) ↔ ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( 𝑧 ∈ ( 𝐸 𝐼 𝐹 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝐸 − 𝑧 ) ) ) ) |
58 |
56 57
|
mpbird |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 − 𝐵 ) ≤ ( 𝐸 − 𝐹 ) ) |