Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
dmmulpi |
|- dom .N = ( N. X. N. ) |
2 |
|
ltrelpi |
|- |
3 |
|
0npi |
|- -. (/) e. N. |
4 |
|
pinn |
|- ( A e. N. -> A e. _om ) |
5 |
|
pinn |
|- ( B e. N. -> B e. _om ) |
6 |
|
elni2 |
|- ( C e. N. <-> ( C e. _om /\ (/) e. C ) ) |
7 |
|
iba |
|- ( (/) e. C -> ( A e. B <-> ( A e. B /\ (/) e. C ) ) ) |
8 |
|
nnmord |
|- ( ( A e. _om /\ B e. _om /\ C e. _om ) -> ( ( A e. B /\ (/) e. C ) <-> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) ) |
9 |
7 8
|
sylan9bbr |
|- ( ( ( A e. _om /\ B e. _om /\ C e. _om ) /\ (/) e. C ) -> ( A e. B <-> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) ) |
10 |
9
|
3exp1 |
|- ( A e. _om -> ( B e. _om -> ( C e. _om -> ( (/) e. C -> ( A e. B <-> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) ) ) ) ) |
11 |
10
|
imp4b |
|- ( ( A e. _om /\ B e. _om ) -> ( ( C e. _om /\ (/) e. C ) -> ( A e. B <-> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) ) ) |
12 |
6 11
|
syl5bi |
|- ( ( A e. _om /\ B e. _om ) -> ( C e. N. -> ( A e. B <-> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) ) ) |
13 |
4 5 12
|
syl2an |
|- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( C e. N. -> ( A e. B <-> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) ) ) |
14 |
13
|
imp |
|- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ C e. N. ) -> ( A e. B <-> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) ) |
15 |
|
ltpiord |
|- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A A e. B ) ) |
16 |
15
|
adantr |
|- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ C e. N. ) -> ( A A e. B ) ) |
17 |
|
mulclpi |
|- ( ( C e. N. /\ A e. N. ) -> ( C .N A ) e. N. ) |
18 |
|
mulclpi |
|- ( ( C e. N. /\ B e. N. ) -> ( C .N B ) e. N. ) |
19 |
|
ltpiord |
|- ( ( ( C .N A ) e. N. /\ ( C .N B ) e. N. ) -> ( ( C .N A ) ( C .N A ) e. ( C .N B ) ) ) |
20 |
17 18 19
|
syl2an |
|- ( ( ( C e. N. /\ A e. N. ) /\ ( C e. N. /\ B e. N. ) ) -> ( ( C .N A ) ( C .N A ) e. ( C .N B ) ) ) |
21 |
|
mulpiord |
|- ( ( C e. N. /\ A e. N. ) -> ( C .N A ) = ( C .o A ) ) |
22 |
21
|
adantr |
|- ( ( ( C e. N. /\ A e. N. ) /\ ( C e. N. /\ B e. N. ) ) -> ( C .N A ) = ( C .o A ) ) |
23 |
|
mulpiord |
|- ( ( C e. N. /\ B e. N. ) -> ( C .N B ) = ( C .o B ) ) |
24 |
23
|
adantl |
|- ( ( ( C e. N. /\ A e. N. ) /\ ( C e. N. /\ B e. N. ) ) -> ( C .N B ) = ( C .o B ) ) |
25 |
22 24
|
eleq12d |
|- ( ( ( C e. N. /\ A e. N. ) /\ ( C e. N. /\ B e. N. ) ) -> ( ( C .N A ) e. ( C .N B ) <-> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) ) |
26 |
20 25
|
bitrd |
|- ( ( ( C e. N. /\ A e. N. ) /\ ( C e. N. /\ B e. N. ) ) -> ( ( C .N A ) ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) ) |
27 |
26
|
anandis |
|- ( ( C e. N. /\ ( A e. N. /\ B e. N. ) ) -> ( ( C .N A ) ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) ) |
28 |
27
|
ancoms |
|- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ C e. N. ) -> ( ( C .N A ) ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) ) |
29 |
14 16 28
|
3bitr4d |
|- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ C e. N. ) -> ( A ( C .N A ) |
30 |
29
|
3impa |
|- ( ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) -> ( A ( C .N A ) |
31 |
1 2 3 30
|
ndmovord |
|- ( C e. N. -> ( A ( C .N A ) |