Metamath Proof Explorer


Theorem ltmpi

Description: Ordering property of multiplication for positive integers. (Contributed by NM, 8-Feb-1996) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Assertion ltmpi
|- ( C e. N. -> ( A  ( C .N A ) 

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 dmmulpi
 |-  dom .N = ( N. X. N. )
2 ltrelpi
 |-  
3 0npi
 |-  -. (/) e. N.
4 pinn
 |-  ( A e. N. -> A e. _om )
5 pinn
 |-  ( B e. N. -> B e. _om )
6 elni2
 |-  ( C e. N. <-> ( C e. _om /\ (/) e. C ) )
7 iba
 |-  ( (/) e. C -> ( A e. B <-> ( A e. B /\ (/) e. C ) ) )
8 nnmord
 |-  ( ( A e. _om /\ B e. _om /\ C e. _om ) -> ( ( A e. B /\ (/) e. C ) <-> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) )
9 7 8 sylan9bbr
 |-  ( ( ( A e. _om /\ B e. _om /\ C e. _om ) /\ (/) e. C ) -> ( A e. B <-> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) )
10 9 3exp1
 |-  ( A e. _om -> ( B e. _om -> ( C e. _om -> ( (/) e. C -> ( A e. B <-> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) ) ) ) )
11 10 imp4b
 |-  ( ( A e. _om /\ B e. _om ) -> ( ( C e. _om /\ (/) e. C ) -> ( A e. B <-> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) ) )
12 6 11 syl5bi
 |-  ( ( A e. _om /\ B e. _om ) -> ( C e. N. -> ( A e. B <-> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) ) )
13 4 5 12 syl2an
 |-  ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( C e. N. -> ( A e. B <-> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) ) )
14 13 imp
 |-  ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ C e. N. ) -> ( A e. B <-> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) )
15 ltpiord
 |-  ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A  A e. B ) )
16 15 adantr
 |-  ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ C e. N. ) -> ( A  A e. B ) )
17 mulclpi
 |-  ( ( C e. N. /\ A e. N. ) -> ( C .N A ) e. N. )
18 mulclpi
 |-  ( ( C e. N. /\ B e. N. ) -> ( C .N B ) e. N. )
19 ltpiord
 |-  ( ( ( C .N A ) e. N. /\ ( C .N B ) e. N. ) -> ( ( C .N A )  ( C .N A ) e. ( C .N B ) ) )
20 17 18 19 syl2an
 |-  ( ( ( C e. N. /\ A e. N. ) /\ ( C e. N. /\ B e. N. ) ) -> ( ( C .N A )  ( C .N A ) e. ( C .N B ) ) )
21 mulpiord
 |-  ( ( C e. N. /\ A e. N. ) -> ( C .N A ) = ( C .o A ) )
22 21 adantr
 |-  ( ( ( C e. N. /\ A e. N. ) /\ ( C e. N. /\ B e. N. ) ) -> ( C .N A ) = ( C .o A ) )
23 mulpiord
 |-  ( ( C e. N. /\ B e. N. ) -> ( C .N B ) = ( C .o B ) )
24 23 adantl
 |-  ( ( ( C e. N. /\ A e. N. ) /\ ( C e. N. /\ B e. N. ) ) -> ( C .N B ) = ( C .o B ) )
25 22 24 eleq12d
 |-  ( ( ( C e. N. /\ A e. N. ) /\ ( C e. N. /\ B e. N. ) ) -> ( ( C .N A ) e. ( C .N B ) <-> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) )
26 20 25 bitrd
 |-  ( ( ( C e. N. /\ A e. N. ) /\ ( C e. N. /\ B e. N. ) ) -> ( ( C .N A )  ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) )
27 26 anandis
 |-  ( ( C e. N. /\ ( A e. N. /\ B e. N. ) ) -> ( ( C .N A )  ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) )
28 27 ancoms
 |-  ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ C e. N. ) -> ( ( C .N A )  ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) )
29 14 16 28 3bitr4d
 |-  ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ C e. N. ) -> ( A  ( C .N A ) 
30 29 3impa
 |-  ( ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) -> ( A  ( C .N A ) 
31 1 2 3 30 ndmovord
 |-  ( C e. N. -> ( A  ( C .N A )