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Theorem marypha2lem3

Description: Lemma for marypha2 . Properties of the used relation. (Contributed by Stefan O'Rear, 20-Feb-2015)

Ref Expression
Hypothesis marypha2lem.t 
|- T = U_ x e. A ( { x } X. ( F ` x ) )
Assertion marypha2lem3 
|- ( ( F Fn A /\ G Fn A ) -> ( G C_ T <-> A. x e. A ( G ` x ) e. ( F ` x ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 marypha2lem.t 
 |-  T = U_ x e. A ( { x } X. ( F ` x ) )
2 dffn5 
 |-  ( G Fn A <-> G = ( x e. A |-> ( G ` x ) ) )
3 2 bilani 
 |-  ( ( F Fn A /\ G Fn A ) -> G = ( x e. A |-> ( G ` x ) ) )
4 df-mpt 
 |-  ( x e. A |-> ( G ` x ) ) = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y = ( G ` x ) ) }
5 3 4 eqtrdi 
 |-  ( ( F Fn A /\ G Fn A ) -> G = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y = ( G ` x ) ) } )
6 1 marypha2lem2 
 |-  T = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) }
7 6 a1i 
 |-  ( ( F Fn A /\ G Fn A ) -> T = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) } )
8 5 7 sseq12d 
 |-  ( ( F Fn A /\ G Fn A ) -> ( G C_ T <-> { <. x , y >. | ( x e. A /\ y = ( G ` x ) ) } C_ { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) } ) )
9 ssopab2bw 
 |-  ( { <. x , y >. | ( x e. A /\ y = ( G ` x ) ) } C_ { <. x , y >. | ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) } <-> A. x A. y ( ( x e. A /\ y = ( G ` x ) ) -> ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) ) )
10 8 9 bitrdi 
 |-  ( ( F Fn A /\ G Fn A ) -> ( G C_ T <-> A. x A. y ( ( x e. A /\ y = ( G ` x ) ) -> ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) ) ) )
11 19.21v 
 |-  ( A. y ( x e. A -> ( y = ( G ` x ) -> y e. ( F ` x ) ) ) <-> ( x e. A -> A. y ( y = ( G ` x ) -> y e. ( F ` x ) ) ) )
12 imdistan 
 |-  ( ( x e. A -> ( y = ( G ` x ) -> y e. ( F ` x ) ) ) <-> ( ( x e. A /\ y = ( G ` x ) ) -> ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) ) )
13 12 albii 
 |-  ( A. y ( x e. A -> ( y = ( G ` x ) -> y e. ( F ` x ) ) ) <-> A. y ( ( x e. A /\ y = ( G ` x ) ) -> ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) ) )
14 fvex 
 |-  ( G ` x ) e. _V
15 eleq1 
 |-  ( y = ( G ` x ) -> ( y e. ( F ` x ) <-> ( G ` x ) e. ( F ` x ) ) )
16 14 15 ceqsalv 
 |-  ( A. y ( y = ( G ` x ) -> y e. ( F ` x ) ) <-> ( G ` x ) e. ( F ` x ) )
17 16 imbi2i 
 |-  ( ( x e. A -> A. y ( y = ( G ` x ) -> y e. ( F ` x ) ) ) <-> ( x e. A -> ( G ` x ) e. ( F ` x ) ) )
18 11 13 17 3bitr3i 
 |-  ( A. y ( ( x e. A /\ y = ( G ` x ) ) -> ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) ) <-> ( x e. A -> ( G ` x ) e. ( F ` x ) ) )
19 18 albii 
 |-  ( A. x A. y ( ( x e. A /\ y = ( G ` x ) ) -> ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) ) <-> A. x ( x e. A -> ( G ` x ) e. ( F ` x ) ) )
20 df-ral 
 |-  ( A. x e. A ( G ` x ) e. ( F ` x ) <-> A. x ( x e. A -> ( G ` x ) e. ( F ` x ) ) )
21 19 20 bitr4i 
 |-  ( A. x A. y ( ( x e. A /\ y = ( G ` x ) ) -> ( x e. A /\ y e. ( F ` x ) ) ) <-> A. x e. A ( G ` x ) e. ( F ` x ) )
22 10 21 bitrdi 
 |-  ( ( F Fn A /\ G Fn A ) -> ( G C_ T <-> A. x e. A ( G ` x ) e. ( F ` x ) ) )