Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
mavmuldm.b |
|- B = ( Base ` R ) |
2 |
|
mavmuldm.c |
|- C = ( B ^m ( M X. N ) ) |
3 |
|
mavmuldm.d |
|- D = ( B ^m N ) |
4 |
|
mavmuldm.t |
|- .x. = ( R maVecMul <. M , N >. ) |
5 |
|
mavmulsolcl.e |
|- E = ( B ^m M ) |
6 |
|
2a1 |
|- ( X e. D -> ( ( ( M e. Fin /\ N e. Fin /\ M =/= (/) ) /\ ( R e. V /\ Y e. E ) ) -> ( ( A .x. X ) = Y -> X e. D ) ) ) |
7 |
|
simpl |
|- ( ( R e. V /\ Y e. E ) -> R e. V ) |
8 |
7
|
adantl |
|- ( ( ( M e. Fin /\ N e. Fin /\ M =/= (/) ) /\ ( R e. V /\ Y e. E ) ) -> R e. V ) |
9 |
|
simpl1 |
|- ( ( ( M e. Fin /\ N e. Fin /\ M =/= (/) ) /\ ( R e. V /\ Y e. E ) ) -> M e. Fin ) |
10 |
|
simpl2 |
|- ( ( ( M e. Fin /\ N e. Fin /\ M =/= (/) ) /\ ( R e. V /\ Y e. E ) ) -> N e. Fin ) |
11 |
8 9 10
|
3jca |
|- ( ( ( M e. Fin /\ N e. Fin /\ M =/= (/) ) /\ ( R e. V /\ Y e. E ) ) -> ( R e. V /\ M e. Fin /\ N e. Fin ) ) |
12 |
11
|
adantl |
|- ( ( -. X e. D /\ ( ( M e. Fin /\ N e. Fin /\ M =/= (/) ) /\ ( R e. V /\ Y e. E ) ) ) -> ( R e. V /\ M e. Fin /\ N e. Fin ) ) |
13 |
1 2 3 4
|
mavmuldm |
|- ( ( R e. V /\ M e. Fin /\ N e. Fin ) -> dom .x. = ( C X. D ) ) |
14 |
12 13
|
syl |
|- ( ( -. X e. D /\ ( ( M e. Fin /\ N e. Fin /\ M =/= (/) ) /\ ( R e. V /\ Y e. E ) ) ) -> dom .x. = ( C X. D ) ) |
15 |
|
simpl |
|- ( ( -. X e. D /\ ( ( M e. Fin /\ N e. Fin /\ M =/= (/) ) /\ ( R e. V /\ Y e. E ) ) ) -> -. X e. D ) |
16 |
15
|
intnand |
|- ( ( -. X e. D /\ ( ( M e. Fin /\ N e. Fin /\ M =/= (/) ) /\ ( R e. V /\ Y e. E ) ) ) -> -. ( A e. C /\ X e. D ) ) |
17 |
|
ndmovg |
|- ( ( dom .x. = ( C X. D ) /\ -. ( A e. C /\ X e. D ) ) -> ( A .x. X ) = (/) ) |
18 |
14 16 17
|
syl2anc |
|- ( ( -. X e. D /\ ( ( M e. Fin /\ N e. Fin /\ M =/= (/) ) /\ ( R e. V /\ Y e. E ) ) ) -> ( A .x. X ) = (/) ) |
19 |
|
eqeq1 |
|- ( ( A .x. X ) = (/) -> ( ( A .x. X ) = Y <-> (/) = Y ) ) |
20 |
|
elmapi |
|- ( Y e. ( B ^m M ) -> Y : M --> B ) |
21 |
|
f0dom0 |
|- ( Y : M --> B -> ( M = (/) <-> Y = (/) ) ) |
22 |
21
|
biimprd |
|- ( Y : M --> B -> ( Y = (/) -> M = (/) ) ) |
23 |
22
|
necon3d |
|- ( Y : M --> B -> ( M =/= (/) -> Y =/= (/) ) ) |
24 |
23
|
com12 |
|- ( M =/= (/) -> ( Y : M --> B -> Y =/= (/) ) ) |
25 |
24
|
3ad2ant3 |
|- ( ( M e. Fin /\ N e. Fin /\ M =/= (/) ) -> ( Y : M --> B -> Y =/= (/) ) ) |
26 |
25
|
com12 |
|- ( Y : M --> B -> ( ( M e. Fin /\ N e. Fin /\ M =/= (/) ) -> Y =/= (/) ) ) |
27 |
26
|
a1d |
|- ( Y : M --> B -> ( R e. V -> ( ( M e. Fin /\ N e. Fin /\ M =/= (/) ) -> Y =/= (/) ) ) ) |
28 |
20 27
|
syl |
|- ( Y e. ( B ^m M ) -> ( R e. V -> ( ( M e. Fin /\ N e. Fin /\ M =/= (/) ) -> Y =/= (/) ) ) ) |
29 |
28 5
|
eleq2s |
|- ( Y e. E -> ( R e. V -> ( ( M e. Fin /\ N e. Fin /\ M =/= (/) ) -> Y =/= (/) ) ) ) |
30 |
29
|
impcom |
|- ( ( R e. V /\ Y e. E ) -> ( ( M e. Fin /\ N e. Fin /\ M =/= (/) ) -> Y =/= (/) ) ) |
31 |
30
|
impcom |
|- ( ( ( M e. Fin /\ N e. Fin /\ M =/= (/) ) /\ ( R e. V /\ Y e. E ) ) -> Y =/= (/) ) |
32 |
|
eqneqall |
|- ( Y = (/) -> ( Y =/= (/) -> X e. D ) ) |
33 |
31 32
|
syl5com |
|- ( ( ( M e. Fin /\ N e. Fin /\ M =/= (/) ) /\ ( R e. V /\ Y e. E ) ) -> ( Y = (/) -> X e. D ) ) |
34 |
33
|
adantl |
|- ( ( -. X e. D /\ ( ( M e. Fin /\ N e. Fin /\ M =/= (/) ) /\ ( R e. V /\ Y e. E ) ) ) -> ( Y = (/) -> X e. D ) ) |
35 |
34
|
com12 |
|- ( Y = (/) -> ( ( -. X e. D /\ ( ( M e. Fin /\ N e. Fin /\ M =/= (/) ) /\ ( R e. V /\ Y e. E ) ) ) -> X e. D ) ) |
36 |
35
|
eqcoms |
|- ( (/) = Y -> ( ( -. X e. D /\ ( ( M e. Fin /\ N e. Fin /\ M =/= (/) ) /\ ( R e. V /\ Y e. E ) ) ) -> X e. D ) ) |
37 |
19 36
|
syl6bi |
|- ( ( A .x. X ) = (/) -> ( ( A .x. X ) = Y -> ( ( -. X e. D /\ ( ( M e. Fin /\ N e. Fin /\ M =/= (/) ) /\ ( R e. V /\ Y e. E ) ) ) -> X e. D ) ) ) |
38 |
37
|
com23 |
|- ( ( A .x. X ) = (/) -> ( ( -. X e. D /\ ( ( M e. Fin /\ N e. Fin /\ M =/= (/) ) /\ ( R e. V /\ Y e. E ) ) ) -> ( ( A .x. X ) = Y -> X e. D ) ) ) |
39 |
18 38
|
mpcom |
|- ( ( -. X e. D /\ ( ( M e. Fin /\ N e. Fin /\ M =/= (/) ) /\ ( R e. V /\ Y e. E ) ) ) -> ( ( A .x. X ) = Y -> X e. D ) ) |
40 |
39
|
ex |
|- ( -. X e. D -> ( ( ( M e. Fin /\ N e. Fin /\ M =/= (/) ) /\ ( R e. V /\ Y e. E ) ) -> ( ( A .x. X ) = Y -> X e. D ) ) ) |
41 |
6 40
|
pm2.61i |
|- ( ( ( M e. Fin /\ N e. Fin /\ M =/= (/) ) /\ ( R e. V /\ Y e. E ) ) -> ( ( A .x. X ) = Y -> X e. D ) ) |