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Theorem mh-inf3sn

Description: Version of inf3 for the set of Zermelo ordinals (/) , { (/) } , { { (/) } } , { { { (/) } } } , etc., where the successor of y is { y } . Unlike inf3 , the proof does not require ax-reg , since the singleton properties snnz and sneqr are sufficient to guarantee that all elements of the sequence are distinct. (Contributed by Matthew House, 13-Apr-2026)

Ref Expression
Hypothesis mh-inf3sn.1 
|- E. x ( (/) e. x /\ A. y e. x { y } e. x )
Assertion mh-inf3sn 
|- _om e. _V

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 mh-inf3sn.1 
 |-  E. x ( (/) e. x /\ A. y e. x { y } e. x )
2 simpr 
 |-  ( ( (/) e. x /\ A. y e. x { y } e. x ) -> A. y e. x { y } e. x )
3 vex 
 |-  y e. _V
4 3 sneqr 
 |-  ( { y } = { z } -> y = z )
5 4 rgen2w 
 |-  A. y e. x A. z e. x ( { y } = { z } -> y = z )
6 eqid 
 |-  ( y e. x |-> { y } ) = ( y e. x |-> { y } )
7 sneq 
 |-  ( y = z -> { y } = { z } )
8 6 7 f1mpt 
 |-  ( ( y e. x |-> { y } ) : x -1-1-> x <-> ( A. y e. x { y } e. x /\ A. y e. x A. z e. x ( { y } = { z } -> y = z ) ) )
9 2 5 8 sylanblrc 
 |-  ( ( (/) e. x /\ A. y e. x { y } e. x ) -> ( y e. x |-> { y } ) : x -1-1-> x )
10 simpl 
 |-  ( ( (/) e. x /\ A. y e. x { y } e. x ) -> (/) e. x )
11 snnzg 
 |-  ( y e. x -> { y } =/= (/) )
12 11 necomd 
 |-  ( y e. x -> (/) =/= { y } )
13 12 neneqd 
 |-  ( y e. x -> -. (/) = { y } )
14 13 nrex 
 |-  -. E. y e. x (/) = { y }
15 vsnex 
 |-  { y } e. _V
16 6 15 elrnmpti 
 |-  ( (/) e. ran ( y e. x |-> { y } ) <-> E. y e. x (/) = { y } )
17 14 16 mtbir 
 |-  -. (/) e. ran ( y e. x |-> { y } )
18 17 a1i 
 |-  ( ( (/) e. x /\ A. y e. x { y } e. x ) -> -. (/) e. ran ( y e. x |-> { y } ) )
19 10 18 eldifd 
 |-  ( ( (/) e. x /\ A. y e. x { y } e. x ) -> (/) e. ( x \ ran ( y e. x |-> { y } ) ) )
20 9 19 mh-inf3f1 
 |-  ( ( (/) e. x /\ A. y e. x { y } e. x ) -> ( rec ( ( y e. x |-> { y } ) , (/) ) |` _om ) : _om -1-1-> x )
21 vex 
 |-  x e. _V
22 f1dmex 
 |-  ( ( ( rec ( ( y e. x |-> { y } ) , (/) ) |` _om ) : _om -1-1-> x /\ x e. _V ) -> _om e. _V )
23 20 21 22 sylancl 
 |-  ( ( (/) e. x /\ A. y e. x { y } e. x ) -> _om e. _V )
24 23 1 exlimiiv 
 |-  _om e. _V