Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
f1mpt.1 |
|- F = ( x e. A |-> C ) |
2 |
|
f1mpt.2 |
|- ( x = y -> C = D ) |
3 |
|
nfmpt1 |
|- F/_ x ( x e. A |-> C ) |
4 |
1 3
|
nfcxfr |
|- F/_ x F |
5 |
|
nfcv |
|- F/_ y F |
6 |
4 5
|
dff13f |
|- ( F : A -1-1-> B <-> ( F : A --> B /\ A. x e. A A. y e. A ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) ) ) |
7 |
1
|
fmpt |
|- ( A. x e. A C e. B <-> F : A --> B ) |
8 |
7
|
anbi1i |
|- ( ( A. x e. A C e. B /\ A. x e. A A. y e. A ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) ) <-> ( F : A --> B /\ A. x e. A A. y e. A ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) ) ) |
9 |
2
|
eleq1d |
|- ( x = y -> ( C e. B <-> D e. B ) ) |
10 |
9
|
cbvralvw |
|- ( A. x e. A C e. B <-> A. y e. A D e. B ) |
11 |
|
raaanv |
|- ( A. x e. A A. y e. A ( C e. B /\ D e. B ) <-> ( A. x e. A C e. B /\ A. y e. A D e. B ) ) |
12 |
1
|
fvmpt2 |
|- ( ( x e. A /\ C e. B ) -> ( F ` x ) = C ) |
13 |
2 1
|
fvmptg |
|- ( ( y e. A /\ D e. B ) -> ( F ` y ) = D ) |
14 |
12 13
|
eqeqan12d |
|- ( ( ( x e. A /\ C e. B ) /\ ( y e. A /\ D e. B ) ) -> ( ( F ` x ) = ( F ` y ) <-> C = D ) ) |
15 |
14
|
an4s |
|- ( ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( C e. B /\ D e. B ) ) -> ( ( F ` x ) = ( F ` y ) <-> C = D ) ) |
16 |
15
|
imbi1d |
|- ( ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( C e. B /\ D e. B ) ) -> ( ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) <-> ( C = D -> x = y ) ) ) |
17 |
16
|
ex |
|- ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( ( C e. B /\ D e. B ) -> ( ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) <-> ( C = D -> x = y ) ) ) ) |
18 |
17
|
ralimdva |
|- ( x e. A -> ( A. y e. A ( C e. B /\ D e. B ) -> A. y e. A ( ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) <-> ( C = D -> x = y ) ) ) ) |
19 |
|
ralbi |
|- ( A. y e. A ( ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) <-> ( C = D -> x = y ) ) -> ( A. y e. A ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) <-> A. y e. A ( C = D -> x = y ) ) ) |
20 |
18 19
|
syl6 |
|- ( x e. A -> ( A. y e. A ( C e. B /\ D e. B ) -> ( A. y e. A ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) <-> A. y e. A ( C = D -> x = y ) ) ) ) |
21 |
20
|
ralimia |
|- ( A. x e. A A. y e. A ( C e. B /\ D e. B ) -> A. x e. A ( A. y e. A ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) <-> A. y e. A ( C = D -> x = y ) ) ) |
22 |
|
ralbi |
|- ( A. x e. A ( A. y e. A ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) <-> A. y e. A ( C = D -> x = y ) ) -> ( A. x e. A A. y e. A ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) <-> A. x e. A A. y e. A ( C = D -> x = y ) ) ) |
23 |
21 22
|
syl |
|- ( A. x e. A A. y e. A ( C e. B /\ D e. B ) -> ( A. x e. A A. y e. A ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) <-> A. x e. A A. y e. A ( C = D -> x = y ) ) ) |
24 |
11 23
|
sylbir |
|- ( ( A. x e. A C e. B /\ A. y e. A D e. B ) -> ( A. x e. A A. y e. A ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) <-> A. x e. A A. y e. A ( C = D -> x = y ) ) ) |
25 |
10 24
|
sylan2b |
|- ( ( A. x e. A C e. B /\ A. x e. A C e. B ) -> ( A. x e. A A. y e. A ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) <-> A. x e. A A. y e. A ( C = D -> x = y ) ) ) |
26 |
25
|
anidms |
|- ( A. x e. A C e. B -> ( A. x e. A A. y e. A ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) <-> A. x e. A A. y e. A ( C = D -> x = y ) ) ) |
27 |
26
|
pm5.32i |
|- ( ( A. x e. A C e. B /\ A. x e. A A. y e. A ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) ) <-> ( A. x e. A C e. B /\ A. x e. A A. y e. A ( C = D -> x = y ) ) ) |
28 |
6 8 27
|
3bitr2i |
|- ( F : A -1-1-> B <-> ( A. x e. A C e. B /\ A. x e. A A. y e. A ( C = D -> x = y ) ) ) |