Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
mptfnf.0 |
|- F/_ x A |
2 |
|
eueq |
|- ( B e. _V <-> E! y y = B ) |
3 |
2
|
ralbii |
|- ( A. x e. A B e. _V <-> A. x e. A E! y y = B ) |
4 |
|
r19.26 |
|- ( A. x e. A ( E. y y = B /\ E* y y = B ) <-> ( A. x e. A E. y y = B /\ A. x e. A E* y y = B ) ) |
5 |
|
df-eu |
|- ( E! y y = B <-> ( E. y y = B /\ E* y y = B ) ) |
6 |
5
|
ralbii |
|- ( A. x e. A E! y y = B <-> A. x e. A ( E. y y = B /\ E* y y = B ) ) |
7 |
|
df-mpt |
|- ( x e. A |-> B ) = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y = B ) } |
8 |
7
|
fneq1i |
|- ( ( x e. A |-> B ) Fn A <-> { <. x , y >. | ( x e. A /\ y = B ) } Fn A ) |
9 |
|
df-fn |
|- ( { <. x , y >. | ( x e. A /\ y = B ) } Fn A <-> ( Fun { <. x , y >. | ( x e. A /\ y = B ) } /\ dom { <. x , y >. | ( x e. A /\ y = B ) } = A ) ) |
10 |
8 9
|
bitri |
|- ( ( x e. A |-> B ) Fn A <-> ( Fun { <. x , y >. | ( x e. A /\ y = B ) } /\ dom { <. x , y >. | ( x e. A /\ y = B ) } = A ) ) |
11 |
|
moanimv |
|- ( E* y ( x e. A /\ y = B ) <-> ( x e. A -> E* y y = B ) ) |
12 |
11
|
albii |
|- ( A. x E* y ( x e. A /\ y = B ) <-> A. x ( x e. A -> E* y y = B ) ) |
13 |
|
funopab |
|- ( Fun { <. x , y >. | ( x e. A /\ y = B ) } <-> A. x E* y ( x e. A /\ y = B ) ) |
14 |
|
df-ral |
|- ( A. x e. A E* y y = B <-> A. x ( x e. A -> E* y y = B ) ) |
15 |
12 13 14
|
3bitr4ri |
|- ( A. x e. A E* y y = B <-> Fun { <. x , y >. | ( x e. A /\ y = B ) } ) |
16 |
|
eqcom |
|- ( { x | ( x e. A /\ E. y y = B ) } = A <-> A = { x | ( x e. A /\ E. y y = B ) } ) |
17 |
|
dmopab |
|- dom { <. x , y >. | ( x e. A /\ y = B ) } = { x | E. y ( x e. A /\ y = B ) } |
18 |
|
19.42v |
|- ( E. y ( x e. A /\ y = B ) <-> ( x e. A /\ E. y y = B ) ) |
19 |
18
|
abbii |
|- { x | E. y ( x e. A /\ y = B ) } = { x | ( x e. A /\ E. y y = B ) } |
20 |
17 19
|
eqtri |
|- dom { <. x , y >. | ( x e. A /\ y = B ) } = { x | ( x e. A /\ E. y y = B ) } |
21 |
20
|
eqeq1i |
|- ( dom { <. x , y >. | ( x e. A /\ y = B ) } = A <-> { x | ( x e. A /\ E. y y = B ) } = A ) |
22 |
|
pm4.71 |
|- ( ( x e. A -> E. y y = B ) <-> ( x e. A <-> ( x e. A /\ E. y y = B ) ) ) |
23 |
22
|
albii |
|- ( A. x ( x e. A -> E. y y = B ) <-> A. x ( x e. A <-> ( x e. A /\ E. y y = B ) ) ) |
24 |
|
df-ral |
|- ( A. x e. A E. y y = B <-> A. x ( x e. A -> E. y y = B ) ) |
25 |
1
|
abeq2f |
|- ( A = { x | ( x e. A /\ E. y y = B ) } <-> A. x ( x e. A <-> ( x e. A /\ E. y y = B ) ) ) |
26 |
23 24 25
|
3bitr4i |
|- ( A. x e. A E. y y = B <-> A = { x | ( x e. A /\ E. y y = B ) } ) |
27 |
16 21 26
|
3bitr4ri |
|- ( A. x e. A E. y y = B <-> dom { <. x , y >. | ( x e. A /\ y = B ) } = A ) |
28 |
15 27
|
anbi12i |
|- ( ( A. x e. A E* y y = B /\ A. x e. A E. y y = B ) <-> ( Fun { <. x , y >. | ( x e. A /\ y = B ) } /\ dom { <. x , y >. | ( x e. A /\ y = B ) } = A ) ) |
29 |
|
ancom |
|- ( ( A. x e. A E* y y = B /\ A. x e. A E. y y = B ) <-> ( A. x e. A E. y y = B /\ A. x e. A E* y y = B ) ) |
30 |
10 28 29
|
3bitr2i |
|- ( ( x e. A |-> B ) Fn A <-> ( A. x e. A E. y y = B /\ A. x e. A E* y y = B ) ) |
31 |
4 6 30
|
3bitr4ri |
|- ( ( x e. A |-> B ) Fn A <-> A. x e. A E! y y = B ) |
32 |
3 31
|
bitr4i |
|- ( A. x e. A B e. _V <-> ( x e. A |-> B ) Fn A ) |