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Theorem mulgsubdi

Description: Group multiple of a difference. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2014)

Ref Expression
Hypotheses mulgsubdi.b 
|- B = ( Base ` G )
mulgsubdi.t 
|- .x. = ( .g ` G )
mulgsubdi.d 
|- .- = ( -g ` G )
Assertion mulgsubdi 
|- ( ( G e. Abel /\ ( M e. ZZ /\ X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( M .x. ( X .- Y ) ) = ( ( M .x. X ) .- ( M .x. Y ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 mulgsubdi.b 
 |-  B = ( Base ` G )
2 mulgsubdi.t 
 |-  .x. = ( .g ` G )
3 mulgsubdi.d 
 |-  .- = ( -g ` G )
4 simpl 
 |-  ( ( G e. Abel /\ ( M e. ZZ /\ X e. B /\ Y e. B ) ) -> G e. Abel )
5 simpr1 
 |-  ( ( G e. Abel /\ ( M e. ZZ /\ X e. B /\ Y e. B ) ) -> M e. ZZ )
6 simpr2 
 |-  ( ( G e. Abel /\ ( M e. ZZ /\ X e. B /\ Y e. B ) ) -> X e. B )
7 ablgrp 
 |-  ( G e. Abel -> G e. Grp )
8 7 adantr 
 |-  ( ( G e. Abel /\ ( M e. ZZ /\ X e. B /\ Y e. B ) ) -> G e. Grp )
9 simpr3 
 |-  ( ( G e. Abel /\ ( M e. ZZ /\ X e. B /\ Y e. B ) ) -> Y e. B )
10 eqid 
 |-  ( invg ` G ) = ( invg ` G )
11 1 10 grpinvcl 
 |-  ( ( G e. Grp /\ Y e. B ) -> ( ( invg ` G ) ` Y ) e. B )
12 8 9 11 syl2anc 
 |-  ( ( G e. Abel /\ ( M e. ZZ /\ X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( invg ` G ) ` Y ) e. B )
13 eqid 
 |-  ( +g ` G ) = ( +g ` G )
14 1 2 13 mulgdi 
 |-  ( ( G e. Abel /\ ( M e. ZZ /\ X e. B /\ ( ( invg ` G ) ` Y ) e. B ) ) -> ( M .x. ( X ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` Y ) ) ) = ( ( M .x. X ) ( +g ` G ) ( M .x. ( ( invg ` G ) ` Y ) ) ) )
15 4 5 6 12 14 syl13anc 
 |-  ( ( G e. Abel /\ ( M e. ZZ /\ X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( M .x. ( X ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` Y ) ) ) = ( ( M .x. X ) ( +g ` G ) ( M .x. ( ( invg ` G ) ` Y ) ) ) )
16 1 2 10 mulginvcom 
 |-  ( ( G e. Grp /\ M e. ZZ /\ Y e. B ) -> ( M .x. ( ( invg ` G ) ` Y ) ) = ( ( invg ` G ) ` ( M .x. Y ) ) )
17 8 5 9 16 syl3anc 
 |-  ( ( G e. Abel /\ ( M e. ZZ /\ X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( M .x. ( ( invg ` G ) ` Y ) ) = ( ( invg ` G ) ` ( M .x. Y ) ) )
18 17 oveq2d 
 |-  ( ( G e. Abel /\ ( M e. ZZ /\ X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( M .x. X ) ( +g ` G ) ( M .x. ( ( invg ` G ) ` Y ) ) ) = ( ( M .x. X ) ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` ( M .x. Y ) ) ) )
19 15 18 eqtrd 
 |-  ( ( G e. Abel /\ ( M e. ZZ /\ X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( M .x. ( X ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` Y ) ) ) = ( ( M .x. X ) ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` ( M .x. Y ) ) ) )
20 1 13 10 3 grpsubval 
 |-  ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .- Y ) = ( X ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` Y ) ) )
21 6 9 20 syl2anc 
 |-  ( ( G e. Abel /\ ( M e. ZZ /\ X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( X .- Y ) = ( X ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` Y ) ) )
22 21 oveq2d 
 |-  ( ( G e. Abel /\ ( M e. ZZ /\ X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( M .x. ( X .- Y ) ) = ( M .x. ( X ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` Y ) ) ) )
23 1 2 mulgcl 
 |-  ( ( G e. Grp /\ M e. ZZ /\ X e. B ) -> ( M .x. X ) e. B )
24 8 5 6 23 syl3anc 
 |-  ( ( G e. Abel /\ ( M e. ZZ /\ X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( M .x. X ) e. B )
25 1 2 mulgcl 
 |-  ( ( G e. Grp /\ M e. ZZ /\ Y e. B ) -> ( M .x. Y ) e. B )
26 8 5 9 25 syl3anc 
 |-  ( ( G e. Abel /\ ( M e. ZZ /\ X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( M .x. Y ) e. B )
27 1 13 10 3 grpsubval 
 |-  ( ( ( M .x. X ) e. B /\ ( M .x. Y ) e. B ) -> ( ( M .x. X ) .- ( M .x. Y ) ) = ( ( M .x. X ) ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` ( M .x. Y ) ) ) )
28 24 26 27 syl2anc 
 |-  ( ( G e. Abel /\ ( M e. ZZ /\ X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( M .x. X ) .- ( M .x. Y ) ) = ( ( M .x. X ) ( +g ` G ) ( ( invg ` G ) ` ( M .x. Y ) ) ) )
29 19 22 28 3eqtr4d 
 |-  ( ( G e. Abel /\ ( M e. ZZ /\ X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( M .x. ( X .- Y ) ) = ( ( M .x. X ) .- ( M .x. Y ) ) )