Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
nbgrval.v |
|- V = ( Vtx ` G ) |
2 |
|
nbgrval.e |
|- E = ( Edg ` G ) |
3 |
|
df-nbgr |
|- NeighbVtx = ( g e. _V , k e. ( Vtx ` g ) |-> { n e. ( ( Vtx ` g ) \ { k } ) | E. e e. ( Edg ` g ) { k , n } C_ e } ) |
4 |
1
|
1vgrex |
|- ( N e. V -> G e. _V ) |
5 |
|
fveq2 |
|- ( g = G -> ( Vtx ` g ) = ( Vtx ` G ) ) |
6 |
1 5
|
eqtr4id |
|- ( g = G -> V = ( Vtx ` g ) ) |
7 |
6
|
eleq2d |
|- ( g = G -> ( N e. V <-> N e. ( Vtx ` g ) ) ) |
8 |
7
|
biimpac |
|- ( ( N e. V /\ g = G ) -> N e. ( Vtx ` g ) ) |
9 |
|
fvex |
|- ( Vtx ` g ) e. _V |
10 |
9
|
difexi |
|- ( ( Vtx ` g ) \ { k } ) e. _V |
11 |
|
rabexg |
|- ( ( ( Vtx ` g ) \ { k } ) e. _V -> { n e. ( ( Vtx ` g ) \ { k } ) | E. e e. ( Edg ` g ) { k , n } C_ e } e. _V ) |
12 |
10 11
|
mp1i |
|- ( ( N e. V /\ ( g = G /\ k = N ) ) -> { n e. ( ( Vtx ` g ) \ { k } ) | E. e e. ( Edg ` g ) { k , n } C_ e } e. _V ) |
13 |
5 1
|
eqtr4di |
|- ( g = G -> ( Vtx ` g ) = V ) |
14 |
13
|
adantr |
|- ( ( g = G /\ k = N ) -> ( Vtx ` g ) = V ) |
15 |
|
sneq |
|- ( k = N -> { k } = { N } ) |
16 |
15
|
adantl |
|- ( ( g = G /\ k = N ) -> { k } = { N } ) |
17 |
14 16
|
difeq12d |
|- ( ( g = G /\ k = N ) -> ( ( Vtx ` g ) \ { k } ) = ( V \ { N } ) ) |
18 |
17
|
adantl |
|- ( ( N e. V /\ ( g = G /\ k = N ) ) -> ( ( Vtx ` g ) \ { k } ) = ( V \ { N } ) ) |
19 |
|
fveq2 |
|- ( g = G -> ( Edg ` g ) = ( Edg ` G ) ) |
20 |
19 2
|
eqtr4di |
|- ( g = G -> ( Edg ` g ) = E ) |
21 |
20
|
adantr |
|- ( ( g = G /\ k = N ) -> ( Edg ` g ) = E ) |
22 |
21
|
adantl |
|- ( ( N e. V /\ ( g = G /\ k = N ) ) -> ( Edg ` g ) = E ) |
23 |
|
preq1 |
|- ( k = N -> { k , n } = { N , n } ) |
24 |
23
|
sseq1d |
|- ( k = N -> ( { k , n } C_ e <-> { N , n } C_ e ) ) |
25 |
24
|
adantl |
|- ( ( g = G /\ k = N ) -> ( { k , n } C_ e <-> { N , n } C_ e ) ) |
26 |
25
|
adantl |
|- ( ( N e. V /\ ( g = G /\ k = N ) ) -> ( { k , n } C_ e <-> { N , n } C_ e ) ) |
27 |
22 26
|
rexeqbidv |
|- ( ( N e. V /\ ( g = G /\ k = N ) ) -> ( E. e e. ( Edg ` g ) { k , n } C_ e <-> E. e e. E { N , n } C_ e ) ) |
28 |
18 27
|
rabeqbidv |
|- ( ( N e. V /\ ( g = G /\ k = N ) ) -> { n e. ( ( Vtx ` g ) \ { k } ) | E. e e. ( Edg ` g ) { k , n } C_ e } = { n e. ( V \ { N } ) | E. e e. E { N , n } C_ e } ) |
29 |
4 8 12 28
|
ovmpodv2 |
|- ( N e. V -> ( NeighbVtx = ( g e. _V , k e. ( Vtx ` g ) |-> { n e. ( ( Vtx ` g ) \ { k } ) | E. e e. ( Edg ` g ) { k , n } C_ e } ) -> ( G NeighbVtx N ) = { n e. ( V \ { N } ) | E. e e. E { N , n } C_ e } ) ) |
30 |
3 29
|
mpi |
|- ( N e. V -> ( G NeighbVtx N ) = { n e. ( V \ { N } ) | E. e e. E { N , n } C_ e } ) |