Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
neiptop.o |
|- J = { a e. ~P X | A. p e. a a e. ( N ` p ) } |
2 |
|
eleq1 |
|- ( a = C -> ( a e. ( N ` p ) <-> C e. ( N ` p ) ) ) |
3 |
2
|
raleqbi1dv |
|- ( a = C -> ( A. p e. a a e. ( N ` p ) <-> A. p e. C C e. ( N ` p ) ) ) |
4 |
3 1
|
elrab2 |
|- ( C e. J <-> ( C e. ~P X /\ A. p e. C C e. ( N ` p ) ) ) |
5 |
|
0ex |
|- (/) e. _V |
6 |
|
eleq1 |
|- ( C = (/) -> ( C e. _V <-> (/) e. _V ) ) |
7 |
5 6
|
mpbiri |
|- ( C = (/) -> C e. _V ) |
8 |
7
|
adantl |
|- ( ( A. p e. C C e. ( N ` p ) /\ C = (/) ) -> C e. _V ) |
9 |
|
elex |
|- ( C e. ( N ` p ) -> C e. _V ) |
10 |
9
|
ralimi |
|- ( A. p e. C C e. ( N ` p ) -> A. p e. C C e. _V ) |
11 |
|
r19.3rzv |
|- ( C =/= (/) -> ( C e. _V <-> A. p e. C C e. _V ) ) |
12 |
11
|
biimparc |
|- ( ( A. p e. C C e. _V /\ C =/= (/) ) -> C e. _V ) |
13 |
10 12
|
sylan |
|- ( ( A. p e. C C e. ( N ` p ) /\ C =/= (/) ) -> C e. _V ) |
14 |
8 13
|
pm2.61dane |
|- ( A. p e. C C e. ( N ` p ) -> C e. _V ) |
15 |
|
elpwg |
|- ( C e. _V -> ( C e. ~P X <-> C C_ X ) ) |
16 |
14 15
|
syl |
|- ( A. p e. C C e. ( N ` p ) -> ( C e. ~P X <-> C C_ X ) ) |
17 |
16
|
pm5.32ri |
|- ( ( C e. ~P X /\ A. p e. C C e. ( N ` p ) ) <-> ( C C_ X /\ A. p e. C C e. ( N ` p ) ) ) |
18 |
4 17
|
bitri |
|- ( C e. J <-> ( C C_ X /\ A. p e. C C e. ( N ` p ) ) ) |