Metamath Proof Explorer


Theorem neipeltop

Description: Lemma for neiptopreu . (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jan-2018)

Ref Expression
Hypothesis neiptop.o
|- J = { a e. ~P X | A. p e. a a e. ( N ` p ) }
Assertion neipeltop
|- ( C e. J <-> ( C C_ X /\ A. p e. C C e. ( N ` p ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 neiptop.o
 |-  J = { a e. ~P X | A. p e. a a e. ( N ` p ) }
2 eleq1
 |-  ( a = C -> ( a e. ( N ` p ) <-> C e. ( N ` p ) ) )
3 2 raleqbi1dv
 |-  ( a = C -> ( A. p e. a a e. ( N ` p ) <-> A. p e. C C e. ( N ` p ) ) )
4 3 1 elrab2
 |-  ( C e. J <-> ( C e. ~P X /\ A. p e. C C e. ( N ` p ) ) )
5 0ex
 |-  (/) e. _V
6 eleq1
 |-  ( C = (/) -> ( C e. _V <-> (/) e. _V ) )
7 5 6 mpbiri
 |-  ( C = (/) -> C e. _V )
8 7 adantl
 |-  ( ( A. p e. C C e. ( N ` p ) /\ C = (/) ) -> C e. _V )
9 elex
 |-  ( C e. ( N ` p ) -> C e. _V )
10 9 ralimi
 |-  ( A. p e. C C e. ( N ` p ) -> A. p e. C C e. _V )
11 r19.3rzv
 |-  ( C =/= (/) -> ( C e. _V <-> A. p e. C C e. _V ) )
12 11 biimparc
 |-  ( ( A. p e. C C e. _V /\ C =/= (/) ) -> C e. _V )
13 10 12 sylan
 |-  ( ( A. p e. C C e. ( N ` p ) /\ C =/= (/) ) -> C e. _V )
14 8 13 pm2.61dane
 |-  ( A. p e. C C e. ( N ` p ) -> C e. _V )
15 elpwg
 |-  ( C e. _V -> ( C e. ~P X <-> C C_ X ) )
16 14 15 syl
 |-  ( A. p e. C C e. ( N ` p ) -> ( C e. ~P X <-> C C_ X ) )
17 16 pm5.32ri
 |-  ( ( C e. ~P X /\ A. p e. C C e. ( N ` p ) ) <-> ( C C_ X /\ A. p e. C C e. ( N ` p ) ) )
18 4 17 bitri
 |-  ( C e. J <-> ( C C_ X /\ A. p e. C C e. ( N ` p ) ) )