Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
neiptop.o |
|- J = { a e. ~P X | A. p e. a a e. ( N ` p ) } |
2 |
|
neiptop.0 |
|- ( ph -> N : X --> ~P ~P X ) |
3 |
|
neiptop.1 |
|- ( ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ a C_ b /\ b C_ X ) /\ a e. ( N ` p ) ) -> b e. ( N ` p ) ) |
4 |
|
neiptop.2 |
|- ( ( ph /\ p e. X ) -> ( fi ` ( N ` p ) ) C_ ( N ` p ) ) |
5 |
|
neiptop.3 |
|- ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ a e. ( N ` p ) ) -> p e. a ) |
6 |
|
neiptop.4 |
|- ( ( ( ph /\ p e. X ) /\ a e. ( N ` p ) ) -> E. b e. ( N ` p ) A. q e. b a e. ( N ` q ) ) |
7 |
|
neiptop.5 |
|- ( ( ph /\ p e. X ) -> X e. ( N ` p ) ) |
8 |
1 2 3 4 5 6 7
|
neiptoptop |
|- ( ph -> J e. Top ) |
9 |
|
toptopon2 |
|- ( J e. Top <-> J e. ( TopOn ` U. J ) ) |
10 |
8 9
|
sylib |
|- ( ph -> J e. ( TopOn ` U. J ) ) |
11 |
1 2 3 4 5 6 7
|
neiptopuni |
|- ( ph -> X = U. J ) |
12 |
11
|
fveq2d |
|- ( ph -> ( TopOn ` X ) = ( TopOn ` U. J ) ) |
13 |
10 12
|
eleqtrrd |
|- ( ph -> J e. ( TopOn ` X ) ) |
14 |
1 2 3 4 5 6 7
|
neiptopnei |
|- ( ph -> N = ( p e. X |-> ( ( nei ` J ) ` { p } ) ) ) |
15 |
|
nfv |
|- F/ p ( ph /\ j e. ( TopOn ` X ) ) |
16 |
|
nfmpt1 |
|- F/_ p ( p e. X |-> ( ( nei ` j ) ` { p } ) ) |
17 |
16
|
nfeq2 |
|- F/ p N = ( p e. X |-> ( ( nei ` j ) ` { p } ) ) |
18 |
15 17
|
nfan |
|- F/ p ( ( ph /\ j e. ( TopOn ` X ) ) /\ N = ( p e. X |-> ( ( nei ` j ) ` { p } ) ) ) |
19 |
|
nfv |
|- F/ p b C_ X |
20 |
18 19
|
nfan |
|- F/ p ( ( ( ph /\ j e. ( TopOn ` X ) ) /\ N = ( p e. X |-> ( ( nei ` j ) ` { p } ) ) ) /\ b C_ X ) |
21 |
|
simpllr |
|- ( ( ( ( ( ph /\ j e. ( TopOn ` X ) ) /\ N = ( p e. X |-> ( ( nei ` j ) ` { p } ) ) ) /\ b C_ X ) /\ p e. b ) -> N = ( p e. X |-> ( ( nei ` j ) ` { p } ) ) ) |
22 |
|
simpr |
|- ( ( ( ( ph /\ j e. ( TopOn ` X ) ) /\ N = ( p e. X |-> ( ( nei ` j ) ` { p } ) ) ) /\ b C_ X ) -> b C_ X ) |
23 |
22
|
sselda |
|- ( ( ( ( ( ph /\ j e. ( TopOn ` X ) ) /\ N = ( p e. X |-> ( ( nei ` j ) ` { p } ) ) ) /\ b C_ X ) /\ p e. b ) -> p e. X ) |
24 |
|
id |
|- ( N = ( p e. X |-> ( ( nei ` j ) ` { p } ) ) -> N = ( p e. X |-> ( ( nei ` j ) ` { p } ) ) ) |
25 |
|
fvexd |
|- ( ( N = ( p e. X |-> ( ( nei ` j ) ` { p } ) ) /\ p e. X ) -> ( ( nei ` j ) ` { p } ) e. _V ) |
26 |
24 25
|
fvmpt2d |
|- ( ( N = ( p e. X |-> ( ( nei ` j ) ` { p } ) ) /\ p e. X ) -> ( N ` p ) = ( ( nei ` j ) ` { p } ) ) |
27 |
21 23 26
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( ( ph /\ j e. ( TopOn ` X ) ) /\ N = ( p e. X |-> ( ( nei ` j ) ` { p } ) ) ) /\ b C_ X ) /\ p e. b ) -> ( N ` p ) = ( ( nei ` j ) ` { p } ) ) |
28 |
27
|
eqcomd |
|- ( ( ( ( ( ph /\ j e. ( TopOn ` X ) ) /\ N = ( p e. X |-> ( ( nei ` j ) ` { p } ) ) ) /\ b C_ X ) /\ p e. b ) -> ( ( nei ` j ) ` { p } ) = ( N ` p ) ) |
29 |
28
|
eleq2d |
|- ( ( ( ( ( ph /\ j e. ( TopOn ` X ) ) /\ N = ( p e. X |-> ( ( nei ` j ) ` { p } ) ) ) /\ b C_ X ) /\ p e. b ) -> ( b e. ( ( nei ` j ) ` { p } ) <-> b e. ( N ` p ) ) ) |
30 |
20 29
|
ralbida |
|- ( ( ( ( ph /\ j e. ( TopOn ` X ) ) /\ N = ( p e. X |-> ( ( nei ` j ) ` { p } ) ) ) /\ b C_ X ) -> ( A. p e. b b e. ( ( nei ` j ) ` { p } ) <-> A. p e. b b e. ( N ` p ) ) ) |
31 |
30
|
pm5.32da |
|- ( ( ( ph /\ j e. ( TopOn ` X ) ) /\ N = ( p e. X |-> ( ( nei ` j ) ` { p } ) ) ) -> ( ( b C_ X /\ A. p e. b b e. ( ( nei ` j ) ` { p } ) ) <-> ( b C_ X /\ A. p e. b b e. ( N ` p ) ) ) ) |
32 |
|
toponss |
|- ( ( j e. ( TopOn ` X ) /\ b e. j ) -> b C_ X ) |
33 |
32
|
ad4ant24 |
|- ( ( ( ( ph /\ j e. ( TopOn ` X ) ) /\ N = ( p e. X |-> ( ( nei ` j ) ` { p } ) ) ) /\ b e. j ) -> b C_ X ) |
34 |
|
topontop |
|- ( j e. ( TopOn ` X ) -> j e. Top ) |
35 |
34
|
ad2antlr |
|- ( ( ( ph /\ j e. ( TopOn ` X ) ) /\ N = ( p e. X |-> ( ( nei ` j ) ` { p } ) ) ) -> j e. Top ) |
36 |
|
opnnei |
|- ( j e. Top -> ( b e. j <-> A. p e. b b e. ( ( nei ` j ) ` { p } ) ) ) |
37 |
35 36
|
syl |
|- ( ( ( ph /\ j e. ( TopOn ` X ) ) /\ N = ( p e. X |-> ( ( nei ` j ) ` { p } ) ) ) -> ( b e. j <-> A. p e. b b e. ( ( nei ` j ) ` { p } ) ) ) |
38 |
37
|
biimpa |
|- ( ( ( ( ph /\ j e. ( TopOn ` X ) ) /\ N = ( p e. X |-> ( ( nei ` j ) ` { p } ) ) ) /\ b e. j ) -> A. p e. b b e. ( ( nei ` j ) ` { p } ) ) |
39 |
33 38
|
jca |
|- ( ( ( ( ph /\ j e. ( TopOn ` X ) ) /\ N = ( p e. X |-> ( ( nei ` j ) ` { p } ) ) ) /\ b e. j ) -> ( b C_ X /\ A. p e. b b e. ( ( nei ` j ) ` { p } ) ) ) |
40 |
37
|
biimpar |
|- ( ( ( ( ph /\ j e. ( TopOn ` X ) ) /\ N = ( p e. X |-> ( ( nei ` j ) ` { p } ) ) ) /\ A. p e. b b e. ( ( nei ` j ) ` { p } ) ) -> b e. j ) |
41 |
40
|
adantrl |
|- ( ( ( ( ph /\ j e. ( TopOn ` X ) ) /\ N = ( p e. X |-> ( ( nei ` j ) ` { p } ) ) ) /\ ( b C_ X /\ A. p e. b b e. ( ( nei ` j ) ` { p } ) ) ) -> b e. j ) |
42 |
39 41
|
impbida |
|- ( ( ( ph /\ j e. ( TopOn ` X ) ) /\ N = ( p e. X |-> ( ( nei ` j ) ` { p } ) ) ) -> ( b e. j <-> ( b C_ X /\ A. p e. b b e. ( ( nei ` j ) ` { p } ) ) ) ) |
43 |
1
|
neipeltop |
|- ( b e. J <-> ( b C_ X /\ A. p e. b b e. ( N ` p ) ) ) |
44 |
43
|
a1i |
|- ( ( ( ph /\ j e. ( TopOn ` X ) ) /\ N = ( p e. X |-> ( ( nei ` j ) ` { p } ) ) ) -> ( b e. J <-> ( b C_ X /\ A. p e. b b e. ( N ` p ) ) ) ) |
45 |
31 42 44
|
3bitr4d |
|- ( ( ( ph /\ j e. ( TopOn ` X ) ) /\ N = ( p e. X |-> ( ( nei ` j ) ` { p } ) ) ) -> ( b e. j <-> b e. J ) ) |
46 |
45
|
eqrdv |
|- ( ( ( ph /\ j e. ( TopOn ` X ) ) /\ N = ( p e. X |-> ( ( nei ` j ) ` { p } ) ) ) -> j = J ) |
47 |
46
|
ex |
|- ( ( ph /\ j e. ( TopOn ` X ) ) -> ( N = ( p e. X |-> ( ( nei ` j ) ` { p } ) ) -> j = J ) ) |
48 |
47
|
ralrimiva |
|- ( ph -> A. j e. ( TopOn ` X ) ( N = ( p e. X |-> ( ( nei ` j ) ` { p } ) ) -> j = J ) ) |
49 |
|
simpl |
|- ( ( j = J /\ p e. X ) -> j = J ) |
50 |
49
|
fveq2d |
|- ( ( j = J /\ p e. X ) -> ( nei ` j ) = ( nei ` J ) ) |
51 |
50
|
fveq1d |
|- ( ( j = J /\ p e. X ) -> ( ( nei ` j ) ` { p } ) = ( ( nei ` J ) ` { p } ) ) |
52 |
51
|
mpteq2dva |
|- ( j = J -> ( p e. X |-> ( ( nei ` j ) ` { p } ) ) = ( p e. X |-> ( ( nei ` J ) ` { p } ) ) ) |
53 |
52
|
eqeq2d |
|- ( j = J -> ( N = ( p e. X |-> ( ( nei ` j ) ` { p } ) ) <-> N = ( p e. X |-> ( ( nei ` J ) ` { p } ) ) ) ) |
54 |
53
|
eqreu |
|- ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ N = ( p e. X |-> ( ( nei ` J ) ` { p } ) ) /\ A. j e. ( TopOn ` X ) ( N = ( p e. X |-> ( ( nei ` j ) ` { p } ) ) -> j = J ) ) -> E! j e. ( TopOn ` X ) N = ( p e. X |-> ( ( nei ` j ) ` { p } ) ) ) |
55 |
13 14 48 54
|
syl3anc |
|- ( ph -> E! j e. ( TopOn ` X ) N = ( p e. X |-> ( ( nei ` j ) ` { p } ) ) ) |