Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
opcon3.b |
|- B = ( Base ` K ) |
2 |
|
opcon3.l |
|- .<_ = ( le ` K ) |
3 |
|
opcon3.o |
|- ._|_ = ( oc ` K ) |
4 |
1 3
|
opoccl |
|- ( ( K e. OP /\ X e. B ) -> ( ._|_ ` X ) e. B ) |
5 |
4
|
3adant3 |
|- ( ( K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ._|_ ` X ) e. B ) |
6 |
1 2 3
|
oplecon3b |
|- ( ( K e. OP /\ ( ._|_ ` X ) e. B /\ Y e. B ) -> ( ( ._|_ ` X ) .<_ Y <-> ( ._|_ ` Y ) .<_ ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) ) ) |
7 |
5 6
|
syld3an2 |
|- ( ( K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( ._|_ ` X ) .<_ Y <-> ( ._|_ ` Y ) .<_ ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) ) ) |
8 |
1 3
|
opococ |
|- ( ( K e. OP /\ X e. B ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) = X ) |
9 |
8
|
3adant3 |
|- ( ( K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) = X ) |
10 |
9
|
breq2d |
|- ( ( K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( ._|_ ` Y ) .<_ ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) <-> ( ._|_ ` Y ) .<_ X ) ) |
11 |
7 10
|
bitrd |
|- ( ( K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( ._|_ ` X ) .<_ Y <-> ( ._|_ ` Y ) .<_ X ) ) |