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Theorem oplecon1b

Description: Contraposition law for strict ordering in orthoposets. ( chsscon1 analog.) (Contributed by NM, 6-Nov-2011)

Ref Expression
Hypotheses opcon3.b
|- B = ( Base ` K )
opcon3.l
|- .<_ = ( le ` K )
opcon3.o
|- ._|_ = ( oc ` K )
Assertion oplecon1b
|- ( ( K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( ._|_ ` X ) .<_ Y <-> ( ._|_ ` Y ) .<_ X ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 opcon3.b
 |-  B = ( Base ` K )
2 opcon3.l
 |-  .<_ = ( le ` K )
3 opcon3.o
 |-  ._|_ = ( oc ` K )
4 1 3 opoccl
 |-  ( ( K e. OP /\ X e. B ) -> ( ._|_ ` X ) e. B )
5 4 3adant3
 |-  ( ( K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ._|_ ` X ) e. B )
6 1 2 3 oplecon3b
 |-  ( ( K e. OP /\ ( ._|_ ` X ) e. B /\ Y e. B ) -> ( ( ._|_ ` X ) .<_ Y <-> ( ._|_ ` Y ) .<_ ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) ) )
7 5 6 syld3an2
 |-  ( ( K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( ._|_ ` X ) .<_ Y <-> ( ._|_ ` Y ) .<_ ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) ) )
8 1 3 opococ
 |-  ( ( K e. OP /\ X e. B ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) = X )
9 8 3adant3
 |-  ( ( K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) = X )
10 9 breq2d
 |-  ( ( K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( ._|_ ` Y ) .<_ ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) <-> ( ._|_ ` Y ) .<_ X ) )
11 7 10 bitrd
 |-  ( ( K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( ._|_ ` X ) .<_ Y <-> ( ._|_ ` Y ) .<_ X ) )