Metamath Proof Explorer

Theorem paddasslem2

Description: Lemma for paddass . (Contributed by NM, 8-Jan-2012)

Ref Expression
Hypotheses paddasslem.l 
|- .<_ = ( le ` K )
paddasslem.j 
|- .\/ = ( join ` K )
paddasslem.a 
|- A = ( Atoms ` K )
Assertion paddasslem2 
|- ( ( ( K e. HL /\ r e. A ) /\ ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) /\ ( -. r .<_ ( x .\/ y ) /\ r .<_ ( y .\/ z ) ) ) -> z .<_ ( r .\/ y ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 paddasslem.l 
 |-  .<_ = ( le ` K )
2 paddasslem.j 
 |-  .\/ = ( join ` K )
3 paddasslem.a 
 |-  A = ( Atoms ` K )
4 simp1l 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ r e. A ) /\ ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) /\ ( -. r .<_ ( x .\/ y ) /\ r .<_ ( y .\/ z ) ) ) -> K e. HL )
5 simp1r 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ r e. A ) /\ ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) /\ ( -. r .<_ ( x .\/ y ) /\ r .<_ ( y .\/ z ) ) ) -> r e. A )
6 simp23 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ r e. A ) /\ ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) /\ ( -. r .<_ ( x .\/ y ) /\ r .<_ ( y .\/ z ) ) ) -> z e. A )
7 simp22 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ r e. A ) /\ ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) /\ ( -. r .<_ ( x .\/ y ) /\ r .<_ ( y .\/ z ) ) ) -> y e. A )
8 5 6 7 3jca 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ r e. A ) /\ ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) /\ ( -. r .<_ ( x .\/ y ) /\ r .<_ ( y .\/ z ) ) ) -> ( r e. A /\ z e. A /\ y e. A ) )
9 simp21 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ r e. A ) /\ ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) /\ ( -. r .<_ ( x .\/ y ) /\ r .<_ ( y .\/ z ) ) ) -> x e. A )
10 simp3l 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ r e. A ) /\ ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) /\ ( -. r .<_ ( x .\/ y ) /\ r .<_ ( y .\/ z ) ) ) -> -. r .<_ ( x .\/ y ) )
11 1 2 3 atnlej2 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( r e. A /\ x e. A /\ y e. A ) /\ -. r .<_ ( x .\/ y ) ) -> r =/= y )
12 4 5 9 7 10 11 syl131anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ r e. A ) /\ ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) /\ ( -. r .<_ ( x .\/ y ) /\ r .<_ ( y .\/ z ) ) ) -> r =/= y )
13 4 8 12 3jca 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ r e. A ) /\ ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) /\ ( -. r .<_ ( x .\/ y ) /\ r .<_ ( y .\/ z ) ) ) -> ( K e. HL /\ ( r e. A /\ z e. A /\ y e. A ) /\ r =/= y ) )
14 simp3r 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ r e. A ) /\ ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) /\ ( -. r .<_ ( x .\/ y ) /\ r .<_ ( y .\/ z ) ) ) -> r .<_ ( y .\/ z ) )
15 1 2 3 hlatexch1 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( r e. A /\ z e. A /\ y e. A ) /\ r =/= y ) -> ( r .<_ ( y .\/ z ) -> z .<_ ( y .\/ r ) ) )
16 13 14 15 sylc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ r e. A ) /\ ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) /\ ( -. r .<_ ( x .\/ y ) /\ r .<_ ( y .\/ z ) ) ) -> z .<_ ( y .\/ r ) )
17 4 hllatd 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ r e. A ) /\ ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) /\ ( -. r .<_ ( x .\/ y ) /\ r .<_ ( y .\/ z ) ) ) -> K e. Lat )
18 eqid 
 |-  ( Base ` K ) = ( Base ` K )
19 18 3 atbase 
 |-  ( r e. A -> r e. ( Base ` K ) )
20 5 19 syl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ r e. A ) /\ ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) /\ ( -. r .<_ ( x .\/ y ) /\ r .<_ ( y .\/ z ) ) ) -> r e. ( Base ` K ) )
21 18 3 atbase 
 |-  ( y e. A -> y e. ( Base ` K ) )
22 7 21 syl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ r e. A ) /\ ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) /\ ( -. r .<_ ( x .\/ y ) /\ r .<_ ( y .\/ z ) ) ) -> y e. ( Base ` K ) )
23 18 2 latjcom 
 |-  ( ( K e. Lat /\ r e. ( Base ` K ) /\ y e. ( Base ` K ) ) -> ( r .\/ y ) = ( y .\/ r ) )
24 17 20 22 23 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ r e. A ) /\ ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) /\ ( -. r .<_ ( x .\/ y ) /\ r .<_ ( y .\/ z ) ) ) -> ( r .\/ y ) = ( y .\/ r ) )
25 16 24 breqtrrd 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ r e. A ) /\ ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) /\ ( -. r .<_ ( x .\/ y ) /\ r .<_ ( y .\/ z ) ) ) -> z .<_ ( r .\/ y ) )