Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
phlsrng.f |
|- F = ( Scalar ` W ) |
2 |
|
phllmhm.h |
|- ., = ( .i ` W ) |
3 |
|
phllmhm.v |
|- V = ( Base ` W ) |
4 |
|
phllmhm.g |
|- G = ( x e. V |-> ( x ., A ) ) |
5 |
|
eqid |
|- ( 0g ` W ) = ( 0g ` W ) |
6 |
|
eqid |
|- ( *r ` F ) = ( *r ` F ) |
7 |
|
eqid |
|- ( 0g ` F ) = ( 0g ` F ) |
8 |
3 1 2 5 6 7
|
isphl |
|- ( W e. PreHil <-> ( W e. LVec /\ F e. *Ring /\ A. y e. V ( ( x e. V |-> ( x ., y ) ) e. ( W LMHom ( ringLMod ` F ) ) /\ ( ( y ., y ) = ( 0g ` F ) -> y = ( 0g ` W ) ) /\ A. x e. V ( ( *r ` F ) ` ( y ., x ) ) = ( x ., y ) ) ) ) |
9 |
8
|
simp3bi |
|- ( W e. PreHil -> A. y e. V ( ( x e. V |-> ( x ., y ) ) e. ( W LMHom ( ringLMod ` F ) ) /\ ( ( y ., y ) = ( 0g ` F ) -> y = ( 0g ` W ) ) /\ A. x e. V ( ( *r ` F ) ` ( y ., x ) ) = ( x ., y ) ) ) |
10 |
|
simp1 |
|- ( ( ( x e. V |-> ( x ., y ) ) e. ( W LMHom ( ringLMod ` F ) ) /\ ( ( y ., y ) = ( 0g ` F ) -> y = ( 0g ` W ) ) /\ A. x e. V ( ( *r ` F ) ` ( y ., x ) ) = ( x ., y ) ) -> ( x e. V |-> ( x ., y ) ) e. ( W LMHom ( ringLMod ` F ) ) ) |
11 |
10
|
ralimi |
|- ( A. y e. V ( ( x e. V |-> ( x ., y ) ) e. ( W LMHom ( ringLMod ` F ) ) /\ ( ( y ., y ) = ( 0g ` F ) -> y = ( 0g ` W ) ) /\ A. x e. V ( ( *r ` F ) ` ( y ., x ) ) = ( x ., y ) ) -> A. y e. V ( x e. V |-> ( x ., y ) ) e. ( W LMHom ( ringLMod ` F ) ) ) |
12 |
9 11
|
syl |
|- ( W e. PreHil -> A. y e. V ( x e. V |-> ( x ., y ) ) e. ( W LMHom ( ringLMod ` F ) ) ) |
13 |
|
oveq2 |
|- ( y = A -> ( x ., y ) = ( x ., A ) ) |
14 |
13
|
mpteq2dv |
|- ( y = A -> ( x e. V |-> ( x ., y ) ) = ( x e. V |-> ( x ., A ) ) ) |
15 |
14 4
|
eqtr4di |
|- ( y = A -> ( x e. V |-> ( x ., y ) ) = G ) |
16 |
15
|
eleq1d |
|- ( y = A -> ( ( x e. V |-> ( x ., y ) ) e. ( W LMHom ( ringLMod ` F ) ) <-> G e. ( W LMHom ( ringLMod ` F ) ) ) ) |
17 |
16
|
rspccva |
|- ( ( A. y e. V ( x e. V |-> ( x ., y ) ) e. ( W LMHom ( ringLMod ` F ) ) /\ A e. V ) -> G e. ( W LMHom ( ringLMod ` F ) ) ) |
18 |
12 17
|
sylan |
|- ( ( W e. PreHil /\ A e. V ) -> G e. ( W LMHom ( ringLMod ` F ) ) ) |