Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
pmapocj.b |
|- B = ( Base ` K ) |
2 |
|
pmapocj.j |
|- .\/ = ( join ` K ) |
3 |
|
pmapocj.m |
|- ./\ = ( meet ` K ) |
4 |
|
pmapocj.o |
|- ._|_ = ( oc ` K ) |
5 |
|
pmapocj.f |
|- F = ( pmap ` K ) |
6 |
|
pmapocj.p |
|- .+ = ( +P ` K ) |
7 |
|
pmapocj.r |
|- N = ( _|_P ` K ) |
8 |
1 2 5 6 7
|
pmapj2N |
|- ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( F ` ( X .\/ Y ) ) = ( N ` ( N ` ( ( F ` X ) .+ ( F ` Y ) ) ) ) ) |
9 |
8
|
fveq2d |
|- ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( N ` ( F ` ( X .\/ Y ) ) ) = ( N ` ( N ` ( N ` ( ( F ` X ) .+ ( F ` Y ) ) ) ) ) ) |
10 |
|
simp1 |
|- ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> K e. HL ) |
11 |
|
hllat |
|- ( K e. HL -> K e. Lat ) |
12 |
1 2
|
latjcl |
|- ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .\/ Y ) e. B ) |
13 |
11 12
|
syl3an1 |
|- ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .\/ Y ) e. B ) |
14 |
1 4 5 7
|
polpmapN |
|- ( ( K e. HL /\ ( X .\/ Y ) e. B ) -> ( N ` ( F ` ( X .\/ Y ) ) ) = ( F ` ( ._|_ ` ( X .\/ Y ) ) ) ) |
15 |
10 13 14
|
syl2anc |
|- ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( N ` ( F ` ( X .\/ Y ) ) ) = ( F ` ( ._|_ ` ( X .\/ Y ) ) ) ) |
16 |
|
eqid |
|- ( Atoms ` K ) = ( Atoms ` K ) |
17 |
1 16 5
|
pmapssat |
|- ( ( K e. HL /\ X e. B ) -> ( F ` X ) C_ ( Atoms ` K ) ) |
18 |
17
|
3adant3 |
|- ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( F ` X ) C_ ( Atoms ` K ) ) |
19 |
1 16 5
|
pmapssat |
|- ( ( K e. HL /\ Y e. B ) -> ( F ` Y ) C_ ( Atoms ` K ) ) |
20 |
19
|
3adant2 |
|- ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( F ` Y ) C_ ( Atoms ` K ) ) |
21 |
16 6
|
paddssat |
|- ( ( K e. HL /\ ( F ` X ) C_ ( Atoms ` K ) /\ ( F ` Y ) C_ ( Atoms ` K ) ) -> ( ( F ` X ) .+ ( F ` Y ) ) C_ ( Atoms ` K ) ) |
22 |
10 18 20 21
|
syl3anc |
|- ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( F ` X ) .+ ( F ` Y ) ) C_ ( Atoms ` K ) ) |
23 |
16 7
|
3polN |
|- ( ( K e. HL /\ ( ( F ` X ) .+ ( F ` Y ) ) C_ ( Atoms ` K ) ) -> ( N ` ( N ` ( N ` ( ( F ` X ) .+ ( F ` Y ) ) ) ) ) = ( N ` ( ( F ` X ) .+ ( F ` Y ) ) ) ) |
24 |
10 22 23
|
syl2anc |
|- ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( N ` ( N ` ( N ` ( ( F ` X ) .+ ( F ` Y ) ) ) ) ) = ( N ` ( ( F ` X ) .+ ( F ` Y ) ) ) ) |
25 |
9 15 24
|
3eqtr3d |
|- ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( F ` ( ._|_ ` ( X .\/ Y ) ) ) = ( N ` ( ( F ` X ) .+ ( F ` Y ) ) ) ) |