Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
pmatcollpw1.p |
|- P = ( Poly1 ` R ) |
2 |
|
pmatcollpw1.c |
|- C = ( N Mat P ) |
3 |
|
pmatcollpw1.b |
|- B = ( Base ` C ) |
4 |
|
pmatcollpw1.m |
|- .X. = ( .s ` P ) |
5 |
|
pmatcollpw1.e |
|- .^ = ( .g ` ( mulGrp ` P ) ) |
6 |
|
pmatcollpw1.x |
|- X = ( var1 ` R ) |
7 |
|
simpl2 |
|- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) /\ ( a e. N /\ b e. N ) ) -> R e. Ring ) |
8 |
|
eqid |
|- ( Base ` P ) = ( Base ` P ) |
9 |
|
simprl |
|- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) /\ ( a e. N /\ b e. N ) ) -> a e. N ) |
10 |
|
simprr |
|- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) /\ ( a e. N /\ b e. N ) ) -> b e. N ) |
11 |
|
simpl3 |
|- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) /\ ( a e. N /\ b e. N ) ) -> M e. B ) |
12 |
2 8 3 9 10 11
|
matecld |
|- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) /\ ( a e. N /\ b e. N ) ) -> ( a M b ) e. ( Base ` P ) ) |
13 |
|
eqid |
|- ( mulGrp ` P ) = ( mulGrp ` P ) |
14 |
|
eqid |
|- ( .g ` ( mulGrp ` P ) ) = ( .g ` ( mulGrp ` P ) ) |
15 |
|
eqid |
|- ( coe1 ` ( a M b ) ) = ( coe1 ` ( a M b ) ) |
16 |
1 6 8 4 13 14 15
|
ply1coe |
|- ( ( R e. Ring /\ ( a M b ) e. ( Base ` P ) ) -> ( a M b ) = ( P gsum ( n e. NN0 |-> ( ( ( coe1 ` ( a M b ) ) ` n ) .X. ( n ( .g ` ( mulGrp ` P ) ) X ) ) ) ) ) |
17 |
7 12 16
|
syl2anc |
|- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) /\ ( a e. N /\ b e. N ) ) -> ( a M b ) = ( P gsum ( n e. NN0 |-> ( ( ( coe1 ` ( a M b ) ) ` n ) .X. ( n ( .g ` ( mulGrp ` P ) ) X ) ) ) ) ) |
18 |
7
|
adantr |
|- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) /\ ( a e. N /\ b e. N ) ) /\ n e. NN0 ) -> R e. Ring ) |
19 |
11
|
adantr |
|- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) /\ ( a e. N /\ b e. N ) ) /\ n e. NN0 ) -> M e. B ) |
20 |
|
simpr |
|- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) /\ ( a e. N /\ b e. N ) ) /\ n e. NN0 ) -> n e. NN0 ) |
21 |
|
simpr |
|- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) /\ ( a e. N /\ b e. N ) ) -> ( a e. N /\ b e. N ) ) |
22 |
21
|
adantr |
|- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) /\ ( a e. N /\ b e. N ) ) /\ n e. NN0 ) -> ( a e. N /\ b e. N ) ) |
23 |
1 2 3
|
decpmate |
|- ( ( ( R e. Ring /\ M e. B /\ n e. NN0 ) /\ ( a e. N /\ b e. N ) ) -> ( a ( M decompPMat n ) b ) = ( ( coe1 ` ( a M b ) ) ` n ) ) |
24 |
18 19 20 22 23
|
syl31anc |
|- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) /\ ( a e. N /\ b e. N ) ) /\ n e. NN0 ) -> ( a ( M decompPMat n ) b ) = ( ( coe1 ` ( a M b ) ) ` n ) ) |
25 |
24
|
eqcomd |
|- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) /\ ( a e. N /\ b e. N ) ) /\ n e. NN0 ) -> ( ( coe1 ` ( a M b ) ) ` n ) = ( a ( M decompPMat n ) b ) ) |
26 |
5
|
eqcomi |
|- ( .g ` ( mulGrp ` P ) ) = .^ |
27 |
26
|
oveqi |
|- ( n ( .g ` ( mulGrp ` P ) ) X ) = ( n .^ X ) |
28 |
27
|
a1i |
|- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) /\ ( a e. N /\ b e. N ) ) /\ n e. NN0 ) -> ( n ( .g ` ( mulGrp ` P ) ) X ) = ( n .^ X ) ) |
29 |
25 28
|
oveq12d |
|- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) /\ ( a e. N /\ b e. N ) ) /\ n e. NN0 ) -> ( ( ( coe1 ` ( a M b ) ) ` n ) .X. ( n ( .g ` ( mulGrp ` P ) ) X ) ) = ( ( a ( M decompPMat n ) b ) .X. ( n .^ X ) ) ) |
30 |
29
|
mpteq2dva |
|- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) /\ ( a e. N /\ b e. N ) ) -> ( n e. NN0 |-> ( ( ( coe1 ` ( a M b ) ) ` n ) .X. ( n ( .g ` ( mulGrp ` P ) ) X ) ) ) = ( n e. NN0 |-> ( ( a ( M decompPMat n ) b ) .X. ( n .^ X ) ) ) ) |
31 |
30
|
oveq2d |
|- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) /\ ( a e. N /\ b e. N ) ) -> ( P gsum ( n e. NN0 |-> ( ( ( coe1 ` ( a M b ) ) ` n ) .X. ( n ( .g ` ( mulGrp ` P ) ) X ) ) ) ) = ( P gsum ( n e. NN0 |-> ( ( a ( M decompPMat n ) b ) .X. ( n .^ X ) ) ) ) ) |
32 |
17 31
|
eqtrd |
|- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) /\ ( a e. N /\ b e. N ) ) -> ( a M b ) = ( P gsum ( n e. NN0 |-> ( ( a ( M decompPMat n ) b ) .X. ( n .^ X ) ) ) ) ) |