Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
eleq1 |
|- ( y = B -> ( y e. A <-> B e. A ) ) |
2 |
1
|
anbi2d |
|- ( y = B -> ( ( A e. P. /\ y e. A ) <-> ( A e. P. /\ B e. A ) ) ) |
3 |
|
breq1 |
|- ( y = B -> ( y B |
4 |
3
|
rexbidv |
|- ( y = B -> ( E. x e. A y E. x e. A B |
5 |
2 4
|
imbi12d |
|- ( y = B -> ( ( ( A e. P. /\ y e. A ) -> E. x e. A y ( ( A e. P. /\ B e. A ) -> E. x e. A B |
6 |
|
elnpi |
|- ( A e. P. <-> ( ( A e. _V /\ (/) C. A /\ A C. Q. ) /\ A. y e. A ( A. x ( x x e. A ) /\ E. x e. A y |
7 |
6
|
simprbi |
|- ( A e. P. -> A. y e. A ( A. x ( x x e. A ) /\ E. x e. A y |
8 |
7
|
r19.21bi |
|- ( ( A e. P. /\ y e. A ) -> ( A. x ( x x e. A ) /\ E. x e. A y |
9 |
8
|
simprd |
|- ( ( A e. P. /\ y e. A ) -> E. x e. A y |
10 |
5 9
|
vtoclg |
|- ( B e. A -> ( ( A e. P. /\ B e. A ) -> E. x e. A B |
11 |
10
|
anabsi7 |
|- ( ( A e. P. /\ B e. A ) -> E. x e. A B |