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Theorem prnmax

Description: A positive real has no largest member. Definition 9-3.1(iii) of Gleason p. 121. (Contributed by NM, 9-Mar-1996) (Revised by Mario Carneiro, 11-May-2013) (New usage is discouraged.)

		Ref	Expression
	Assertion	prnmax	$⊢ (A \in 𝑷 \land B \in A) \to \exists x \in A B <_{𝑸} x$

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1	$⊢ y = B \to (y \in A \leftrightarrow B \in A)$
2	1	anbi2d	$⊢ y = B \to ((A \in 𝑷 \land y \in A) \leftrightarrow (A \in 𝑷 \land B \in A))$
3		breq1	$⊢ y = B \to (y <_{𝑸} x \leftrightarrow B <_{𝑸} x)$
4	3	rexbidv	$⊢ y = B \to (\exists x \in A y <_{𝑸} x \leftrightarrow \exists x \in A B <_{𝑸} x)$
5	2 4	imbi12d	$⊢ y = B \to (((A \in 𝑷 \land y \in A) \to \exists x \in A y <_{𝑸} x) \leftrightarrow ((A \in 𝑷 \land B \in A) \to \exists x \in A B <_{𝑸} x))$
6		elnpi	$⊢ A \in 𝑷 \leftrightarrow ((A \in V \land \emptyset \subset A \land A \subset 𝑸) \land \forall y \in A (\forall x (x <_{𝑸} y \to x \in A) \land \exists x \in A y <_{𝑸} x))$
7	6	simprbi	$⊢ A \in 𝑷 \to \forall y \in A (\forall x (x <_{𝑸} y \to x \in A) \land \exists x \in A y <_{𝑸} x)$
8	7	r19.21bi	$⊢ (A \in 𝑷 \land y \in A) \to (\forall x (x <_{𝑸} y \to x \in A) \land \exists x \in A y <_{𝑸} x)$
9	8	simprd	$⊢ (A \in 𝑷 \land y \in A) \to \exists x \in A y <_{𝑸} x$
10	5 9	vtoclg	$⊢ B \in A \to ((A \in 𝑷 \land B \in A) \to \exists x \in A B <_{𝑸} x)$
11	10	anabsi7	$⊢ (A \in 𝑷 \land B \in A) \to \exists x \in A B <_{𝑸} x$