Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
elex |
|- ( A e. P. -> A e. _V ) |
2 |
|
simpl1 |
|- ( ( ( A e. _V /\ (/) C. A /\ A C. Q. ) /\ A. x e. A ( A. y ( y y e. A ) /\ E. y e. A x A e. _V ) |
3 |
|
psseq2 |
|- ( z = A -> ( (/) C. z <-> (/) C. A ) ) |
4 |
|
psseq1 |
|- ( z = A -> ( z C. Q. <-> A C. Q. ) ) |
5 |
3 4
|
anbi12d |
|- ( z = A -> ( ( (/) C. z /\ z C. Q. ) <-> ( (/) C. A /\ A C. Q. ) ) ) |
6 |
|
eleq2 |
|- ( z = A -> ( y e. z <-> y e. A ) ) |
7 |
6
|
imbi2d |
|- ( z = A -> ( ( y y e. z ) <-> ( y y e. A ) ) ) |
8 |
7
|
albidv |
|- ( z = A -> ( A. y ( y y e. z ) <-> A. y ( y y e. A ) ) ) |
9 |
|
rexeq |
|- ( z = A -> ( E. y e. z x E. y e. A x |
10 |
8 9
|
anbi12d |
|- ( z = A -> ( ( A. y ( y y e. z ) /\ E. y e. z x ( A. y ( y y e. A ) /\ E. y e. A x |
11 |
10
|
raleqbi1dv |
|- ( z = A -> ( A. x e. z ( A. y ( y y e. z ) /\ E. y e. z x A. x e. A ( A. y ( y y e. A ) /\ E. y e. A x |
12 |
5 11
|
anbi12d |
|- ( z = A -> ( ( ( (/) C. z /\ z C. Q. ) /\ A. x e. z ( A. y ( y y e. z ) /\ E. y e. z x ( ( (/) C. A /\ A C. Q. ) /\ A. x e. A ( A. y ( y y e. A ) /\ E. y e. A x |
13 |
|
df-np |
|- P. = { z | ( ( (/) C. z /\ z C. Q. ) /\ A. x e. z ( A. y ( y y e. z ) /\ E. y e. z x |
14 |
12 13
|
elab2g |
|- ( A e. _V -> ( A e. P. <-> ( ( (/) C. A /\ A C. Q. ) /\ A. x e. A ( A. y ( y y e. A ) /\ E. y e. A x |
15 |
|
id |
|- ( ( A e. _V /\ (/) C. A /\ A C. Q. ) -> ( A e. _V /\ (/) C. A /\ A C. Q. ) ) |
16 |
15
|
3expib |
|- ( A e. _V -> ( ( (/) C. A /\ A C. Q. ) -> ( A e. _V /\ (/) C. A /\ A C. Q. ) ) ) |
17 |
|
3simpc |
|- ( ( A e. _V /\ (/) C. A /\ A C. Q. ) -> ( (/) C. A /\ A C. Q. ) ) |
18 |
16 17
|
impbid1 |
|- ( A e. _V -> ( ( (/) C. A /\ A C. Q. ) <-> ( A e. _V /\ (/) C. A /\ A C. Q. ) ) ) |
19 |
18
|
anbi1d |
|- ( A e. _V -> ( ( ( (/) C. A /\ A C. Q. ) /\ A. x e. A ( A. y ( y y e. A ) /\ E. y e. A x ( ( A e. _V /\ (/) C. A /\ A C. Q. ) /\ A. x e. A ( A. y ( y y e. A ) /\ E. y e. A x |
20 |
14 19
|
bitrd |
|- ( A e. _V -> ( A e. P. <-> ( ( A e. _V /\ (/) C. A /\ A C. Q. ) /\ A. x e. A ( A. y ( y y e. A ) /\ E. y e. A x |
21 |
1 2 20
|
pm5.21nii |
|- ( A e. P. <-> ( ( A e. _V /\ (/) C. A /\ A C. Q. ) /\ A. x e. A ( A. y ( y y e. A ) /\ E. y e. A x |