| Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
| 1 |
|
psdcl.s |
|- S = ( I mPwSer R ) |
| 2 |
|
psdcl.b |
|- B = ( Base ` S ) |
| 3 |
|
psdcl.r |
|- ( ph -> R e. Mgm ) |
| 4 |
|
psdcl.x |
|- ( ph -> X e. I ) |
| 5 |
|
psdcl.f |
|- ( ph -> F e. B ) |
| 6 |
|
fvexd |
|- ( ph -> ( Base ` R ) e. _V ) |
| 7 |
|
ovex |
|- ( NN0 ^m I ) e. _V |
| 8 |
7
|
rabex |
|- { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } e. _V |
| 9 |
8
|
a1i |
|- ( ph -> { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } e. _V ) |
| 10 |
3
|
adantr |
|- ( ( ph /\ k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> R e. Mgm ) |
| 11 |
|
eqid |
|- { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } = { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } |
| 12 |
11
|
psrbagf |
|- ( k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } -> k : I --> NN0 ) |
| 13 |
12
|
adantl |
|- ( ( ph /\ k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> k : I --> NN0 ) |
| 14 |
4
|
adantr |
|- ( ( ph /\ k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> X e. I ) |
| 15 |
13 14
|
ffvelcdmd |
|- ( ( ph /\ k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( k ` X ) e. NN0 ) |
| 16 |
|
nn0p1nn |
|- ( ( k ` X ) e. NN0 -> ( ( k ` X ) + 1 ) e. NN ) |
| 17 |
15 16
|
syl |
|- ( ( ph /\ k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( ( k ` X ) + 1 ) e. NN ) |
| 18 |
|
eqid |
|- ( Base ` R ) = ( Base ` R ) |
| 19 |
1 18 11 2 5
|
psrelbas |
|- ( ph -> F : { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } --> ( Base ` R ) ) |
| 20 |
19
|
adantr |
|- ( ( ph /\ k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> F : { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } --> ( Base ` R ) ) |
| 21 |
|
simpr |
|- ( ( ph /\ k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) |
| 22 |
|
reldmpsr |
|- Rel dom mPwSer |
| 23 |
1 2 22
|
strov2rcl |
|- ( F e. B -> I e. _V ) |
| 24 |
5 23
|
syl |
|- ( ph -> I e. _V ) |
| 25 |
|
1nn0 |
|- 1 e. NN0 |
| 26 |
11
|
snifpsrbag |
|- ( ( I e. _V /\ 1 e. NN0 ) -> ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) |
| 27 |
24 25 26
|
sylancl |
|- ( ph -> ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) |
| 28 |
27
|
adantr |
|- ( ( ph /\ k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) |
| 29 |
11
|
psrbagaddcl |
|- ( ( k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } /\ ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( k oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) |
| 30 |
21 28 29
|
syl2anc |
|- ( ( ph /\ k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( k oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) |
| 31 |
20 30
|
ffvelcdmd |
|- ( ( ph /\ k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( F ` ( k oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) e. ( Base ` R ) ) |
| 32 |
|
eqid |
|- ( .g ` R ) = ( .g ` R ) |
| 33 |
18 32
|
mulgnncl |
|- ( ( R e. Mgm /\ ( ( k ` X ) + 1 ) e. NN /\ ( F ` ( k oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) e. ( Base ` R ) ) -> ( ( ( k ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( F ` ( k oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) ) e. ( Base ` R ) ) |
| 34 |
10 17 31 33
|
syl3anc |
|- ( ( ph /\ k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( ( ( k ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( F ` ( k oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) ) e. ( Base ` R ) ) |
| 35 |
34
|
fmpttd |
|- ( ph -> ( k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } |-> ( ( ( k ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( F ` ( k oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) ) ) : { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } --> ( Base ` R ) ) |
| 36 |
6 9 35
|
elmapdd |
|- ( ph -> ( k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } |-> ( ( ( k ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( F ` ( k oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) ) ) e. ( ( Base ` R ) ^m { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) ) |
| 37 |
1 2 11 4 5
|
psdval |
|- ( ph -> ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` F ) = ( k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } |-> ( ( ( k ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( F ` ( k oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) ) ) ) |
| 38 |
1 18 11 2 24
|
psrbas |
|- ( ph -> B = ( ( Base ` R ) ^m { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) ) |
| 39 |
36 37 38
|
3eltr4d |
|- ( ph -> ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` F ) e. B ) |