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Theorem psmettri

Description: Triangle inequality for the distance function of a pseudometric space. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Feb-2018)

Ref Expression
Assertion psmettri
|- ( ( D e. ( PsMet ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( A D B ) <_ ( ( A D C ) +e ( C D B ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 simpl
 |-  ( ( D e. ( PsMet ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> D e. ( PsMet ` X ) )
2 simpr3
 |-  ( ( D e. ( PsMet ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> C e. X )
3 simpr1
 |-  ( ( D e. ( PsMet ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> A e. X )
4 simpr2
 |-  ( ( D e. ( PsMet ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> B e. X )
5 psmettri2
 |-  ( ( D e. ( PsMet ` X ) /\ ( C e. X /\ A e. X /\ B e. X ) ) -> ( A D B ) <_ ( ( C D A ) +e ( C D B ) ) )
6 1 2 3 4 5 syl13anc
 |-  ( ( D e. ( PsMet ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( A D B ) <_ ( ( C D A ) +e ( C D B ) ) )
7 psmetsym
 |-  ( ( D e. ( PsMet ` X ) /\ C e. X /\ A e. X ) -> ( C D A ) = ( A D C ) )
8 1 2 3 7 syl3anc
 |-  ( ( D e. ( PsMet ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( C D A ) = ( A D C ) )
9 8 oveq1d
 |-  ( ( D e. ( PsMet ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( ( C D A ) +e ( C D B ) ) = ( ( A D C ) +e ( C D B ) ) )
10 6 9 breqtrd
 |-  ( ( D e. ( PsMet ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( A D B ) <_ ( ( A D C ) +e ( C D B ) ) )