Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
elq |
|- ( A e. QQ <-> E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) ) |
2 |
|
elq |
|- ( B e. QQ <-> E. z e. ZZ E. w e. NN B = ( z / w ) ) |
3 |
|
zmulcl |
|- ( ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) -> ( x x. z ) e. ZZ ) |
4 |
|
nnmulcl |
|- ( ( y e. NN /\ w e. NN ) -> ( y x. w ) e. NN ) |
5 |
3 4
|
anim12i |
|- ( ( ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) /\ ( y e. NN /\ w e. NN ) ) -> ( ( x x. z ) e. ZZ /\ ( y x. w ) e. NN ) ) |
6 |
5
|
an4s |
|- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) -> ( ( x x. z ) e. ZZ /\ ( y x. w ) e. NN ) ) |
7 |
|
oveq12 |
|- ( ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) -> ( A x. B ) = ( ( x / y ) x. ( z / w ) ) ) |
8 |
|
zcn |
|- ( x e. ZZ -> x e. CC ) |
9 |
|
zcn |
|- ( z e. ZZ -> z e. CC ) |
10 |
8 9
|
anim12i |
|- ( ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) -> ( x e. CC /\ z e. CC ) ) |
11 |
10
|
ad2ant2r |
|- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) -> ( x e. CC /\ z e. CC ) ) |
12 |
|
nncn |
|- ( y e. NN -> y e. CC ) |
13 |
|
nnne0 |
|- ( y e. NN -> y =/= 0 ) |
14 |
12 13
|
jca |
|- ( y e. NN -> ( y e. CC /\ y =/= 0 ) ) |
15 |
|
nncn |
|- ( w e. NN -> w e. CC ) |
16 |
|
nnne0 |
|- ( w e. NN -> w =/= 0 ) |
17 |
15 16
|
jca |
|- ( w e. NN -> ( w e. CC /\ w =/= 0 ) ) |
18 |
14 17
|
anim12i |
|- ( ( y e. NN /\ w e. NN ) -> ( ( y e. CC /\ y =/= 0 ) /\ ( w e. CC /\ w =/= 0 ) ) ) |
19 |
18
|
ad2ant2l |
|- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) -> ( ( y e. CC /\ y =/= 0 ) /\ ( w e. CC /\ w =/= 0 ) ) ) |
20 |
|
divmuldiv |
|- ( ( ( x e. CC /\ z e. CC ) /\ ( ( y e. CC /\ y =/= 0 ) /\ ( w e. CC /\ w =/= 0 ) ) ) -> ( ( x / y ) x. ( z / w ) ) = ( ( x x. z ) / ( y x. w ) ) ) |
21 |
11 19 20
|
syl2anc |
|- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) -> ( ( x / y ) x. ( z / w ) ) = ( ( x x. z ) / ( y x. w ) ) ) |
22 |
7 21
|
sylan9eqr |
|- ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) -> ( A x. B ) = ( ( x x. z ) / ( y x. w ) ) ) |
23 |
|
rspceov |
|- ( ( ( x x. z ) e. ZZ /\ ( y x. w ) e. NN /\ ( A x. B ) = ( ( x x. z ) / ( y x. w ) ) ) -> E. v e. ZZ E. u e. NN ( A x. B ) = ( v / u ) ) |
24 |
23
|
3expa |
|- ( ( ( ( x x. z ) e. ZZ /\ ( y x. w ) e. NN ) /\ ( A x. B ) = ( ( x x. z ) / ( y x. w ) ) ) -> E. v e. ZZ E. u e. NN ( A x. B ) = ( v / u ) ) |
25 |
|
elq |
|- ( ( A x. B ) e. QQ <-> E. v e. ZZ E. u e. NN ( A x. B ) = ( v / u ) ) |
26 |
24 25
|
sylibr |
|- ( ( ( ( x x. z ) e. ZZ /\ ( y x. w ) e. NN ) /\ ( A x. B ) = ( ( x x. z ) / ( y x. w ) ) ) -> ( A x. B ) e. QQ ) |
27 |
6 22 26
|
syl2an2r |
|- ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) -> ( A x. B ) e. QQ ) |
28 |
27
|
an4s |
|- ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ A = ( x / y ) ) /\ ( ( z e. ZZ /\ w e. NN ) /\ B = ( z / w ) ) ) -> ( A x. B ) e. QQ ) |
29 |
28
|
exp43 |
|- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) -> ( A = ( x / y ) -> ( ( z e. ZZ /\ w e. NN ) -> ( B = ( z / w ) -> ( A x. B ) e. QQ ) ) ) ) |
30 |
29
|
rexlimivv |
|- ( E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) -> ( ( z e. ZZ /\ w e. NN ) -> ( B = ( z / w ) -> ( A x. B ) e. QQ ) ) ) |
31 |
30
|
rexlimdvv |
|- ( E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) -> ( E. z e. ZZ E. w e. NN B = ( z / w ) -> ( A x. B ) e. QQ ) ) |
32 |
31
|
imp |
|- ( ( E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) /\ E. z e. ZZ E. w e. NN B = ( z / w ) ) -> ( A x. B ) e. QQ ) |
33 |
1 2 32
|
syl2anb |
|- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> ( A x. B ) e. QQ ) |