Theorem ralidm

Description: Idempotent law for restricted quantifier. (Contributed by NM, 28-Mar-1997) Reduce axiom usage. (Revised by GG, 2-Sep-2024)

	Ref	Expression
Assertion	ralidm	|- ( A. x e. A A. x e. A ph <-> A. x e. A ph )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ral	|- ( A. x e. A A. x e. A ph <-> A. x ( x e. A -> A. x e. A ph ) )
2		df-ral	|- ( A. x e. A ph <-> A. x ( x e. A -> ph ) )
3		ax-1	|- ( A. x ( x e. A -> ph ) -> ( x e. A -> A. x ( x e. A -> ph ) ) )
4	3	axc4i	|- ( A. x ( x e. A -> ph ) -> A. x ( x e. A -> A. x ( x e. A -> ph ) ) )
5		pm2.21	|- ( -. x e. A -> ( x e. A -> ph ) )
6		sp	|- ( A. x ( x e. A -> ph ) -> ( x e. A -> ph ) )
7	5 6	ja	|- ( ( x e. A -> A. x ( x e. A -> ph ) ) -> ( x e. A -> ph ) )
8	7	alimi	|- ( A. x ( x e. A -> A. x ( x e. A -> ph ) ) -> A. x ( x e. A -> ph ) )
9	4 8	impbii	|- ( A. x ( x e. A -> ph ) <-> A. x ( x e. A -> A. x ( x e. A -> ph ) ) )
10	2	bicomi	|- ( A. x ( x e. A -> ph ) <-> A. x e. A ph )
11	10	imbi2i	|- ( ( x e. A -> A. x ( x e. A -> ph ) ) <-> ( x e. A -> A. x e. A ph ) )
12	11	albii	|- ( A. x ( x e. A -> A. x ( x e. A -> ph ) ) <-> A. x ( x e. A -> A. x e. A ph ) )
13	2 9 12	3bitrri	|- ( A. x ( x e. A -> A. x e. A ph ) <-> A. x e. A ph )
14	1 13	bitri	|- ( A. x e. A A. x e. A ph <-> A. x e. A ph )