Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
simpr |
|- ( ( C C_ A /\ F e. ( A -cn-> B ) ) -> F e. ( A -cn-> B ) ) |
2 |
|
cncfrss |
|- ( F e. ( A -cn-> B ) -> A C_ CC ) |
3 |
2
|
adantl |
|- ( ( C C_ A /\ F e. ( A -cn-> B ) ) -> A C_ CC ) |
4 |
|
cncfrss2 |
|- ( F e. ( A -cn-> B ) -> B C_ CC ) |
5 |
4
|
adantl |
|- ( ( C C_ A /\ F e. ( A -cn-> B ) ) -> B C_ CC ) |
6 |
|
elcncf |
|- ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) -> ( F e. ( A -cn-> B ) <-> ( F : A --> B /\ A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) ) ) ) |
7 |
3 5 6
|
syl2anc |
|- ( ( C C_ A /\ F e. ( A -cn-> B ) ) -> ( F e. ( A -cn-> B ) <-> ( F : A --> B /\ A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) ) ) ) |
8 |
1 7
|
mpbid |
|- ( ( C C_ A /\ F e. ( A -cn-> B ) ) -> ( F : A --> B /\ A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) ) ) |
9 |
8
|
simpld |
|- ( ( C C_ A /\ F e. ( A -cn-> B ) ) -> F : A --> B ) |
10 |
|
simpl |
|- ( ( C C_ A /\ F e. ( A -cn-> B ) ) -> C C_ A ) |
11 |
9 10
|
fssresd |
|- ( ( C C_ A /\ F e. ( A -cn-> B ) ) -> ( F |` C ) : C --> B ) |
12 |
8
|
simprd |
|- ( ( C C_ A /\ F e. ( A -cn-> B ) ) -> A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) ) |
13 |
|
ssralv |
|- ( C C_ A -> ( A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) -> A. x e. C A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) ) ) |
14 |
|
ssralv |
|- ( C C_ A -> ( A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) -> A. w e. C ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) ) ) |
15 |
|
fvres |
|- ( x e. C -> ( ( F |` C ) ` x ) = ( F ` x ) ) |
16 |
|
fvres |
|- ( w e. C -> ( ( F |` C ) ` w ) = ( F ` w ) ) |
17 |
15 16
|
oveqan12d |
|- ( ( x e. C /\ w e. C ) -> ( ( ( F |` C ) ` x ) - ( ( F |` C ) ` w ) ) = ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) |
18 |
17
|
fveq2d |
|- ( ( x e. C /\ w e. C ) -> ( abs ` ( ( ( F |` C ) ` x ) - ( ( F |` C ) ` w ) ) ) = ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) ) |
19 |
18
|
breq1d |
|- ( ( x e. C /\ w e. C ) -> ( ( abs ` ( ( ( F |` C ) ` x ) - ( ( F |` C ) ` w ) ) ) < y <-> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) ) |
20 |
19
|
imbi2d |
|- ( ( x e. C /\ w e. C ) -> ( ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( ( F |` C ) ` x ) - ( ( F |` C ) ` w ) ) ) < y ) <-> ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) ) ) |
21 |
20
|
biimprd |
|- ( ( x e. C /\ w e. C ) -> ( ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) -> ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( ( F |` C ) ` x ) - ( ( F |` C ) ` w ) ) ) < y ) ) ) |
22 |
21
|
ralimdva |
|- ( x e. C -> ( A. w e. C ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) -> A. w e. C ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( ( F |` C ) ` x ) - ( ( F |` C ) ` w ) ) ) < y ) ) ) |
23 |
14 22
|
sylan9 |
|- ( ( C C_ A /\ x e. C ) -> ( A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) -> A. w e. C ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( ( F |` C ) ` x ) - ( ( F |` C ) ` w ) ) ) < y ) ) ) |
24 |
23
|
reximdv |
|- ( ( C C_ A /\ x e. C ) -> ( E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) -> E. z e. RR+ A. w e. C ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( ( F |` C ) ` x ) - ( ( F |` C ) ` w ) ) ) < y ) ) ) |
25 |
24
|
ralimdv |
|- ( ( C C_ A /\ x e. C ) -> ( A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) -> A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. C ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( ( F |` C ) ` x ) - ( ( F |` C ) ` w ) ) ) < y ) ) ) |
26 |
25
|
ralimdva |
|- ( C C_ A -> ( A. x e. C A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) -> A. x e. C A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. C ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( ( F |` C ) ` x ) - ( ( F |` C ) ` w ) ) ) < y ) ) ) |
27 |
13 26
|
syld |
|- ( C C_ A -> ( A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` w ) ) ) < y ) -> A. x e. C A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. C ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( ( F |` C ) ` x ) - ( ( F |` C ) ` w ) ) ) < y ) ) ) |
28 |
10 12 27
|
sylc |
|- ( ( C C_ A /\ F e. ( A -cn-> B ) ) -> A. x e. C A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. C ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( ( F |` C ) ` x ) - ( ( F |` C ) ` w ) ) ) < y ) ) |
29 |
10 3
|
sstrd |
|- ( ( C C_ A /\ F e. ( A -cn-> B ) ) -> C C_ CC ) |
30 |
|
elcncf |
|- ( ( C C_ CC /\ B C_ CC ) -> ( ( F |` C ) e. ( C -cn-> B ) <-> ( ( F |` C ) : C --> B /\ A. x e. C A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. C ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( ( F |` C ) ` x ) - ( ( F |` C ) ` w ) ) ) < y ) ) ) ) |
31 |
29 5 30
|
syl2anc |
|- ( ( C C_ A /\ F e. ( A -cn-> B ) ) -> ( ( F |` C ) e. ( C -cn-> B ) <-> ( ( F |` C ) : C --> B /\ A. x e. C A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. C ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( ( F |` C ) ` x ) - ( ( F |` C ) ` w ) ) ) < y ) ) ) ) |
32 |
11 28 31
|
mpbir2and |
|- ( ( C C_ A /\ F e. ( A -cn-> B ) ) -> ( F |` C ) e. ( C -cn-> B ) ) |
33 |
32
|
ex |
|- ( C C_ A -> ( F e. ( A -cn-> B ) -> ( F |` C ) e. ( C -cn-> B ) ) ) |