Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
ringi.1 |
|- G = ( 1st ` R ) |
2 |
|
ringi.2 |
|- H = ( 2nd ` R ) |
3 |
|
ringi.3 |
|- X = ran G |
4 |
1 2 3
|
rngoi |
|- ( R e. RingOps -> ( ( G e. AbelOp /\ H : ( X X. X ) --> X ) /\ ( A. x e. X A. y e. X A. z e. X ( ( ( x H y ) H z ) = ( x H ( y H z ) ) /\ ( x H ( y G z ) ) = ( ( x H y ) G ( x H z ) ) /\ ( ( x G y ) H z ) = ( ( x H z ) G ( y H z ) ) ) /\ E. x e. X A. y e. X ( ( x H y ) = y /\ ( y H x ) = y ) ) ) ) |
5 |
4
|
simprd |
|- ( R e. RingOps -> ( A. x e. X A. y e. X A. z e. X ( ( ( x H y ) H z ) = ( x H ( y H z ) ) /\ ( x H ( y G z ) ) = ( ( x H y ) G ( x H z ) ) /\ ( ( x G y ) H z ) = ( ( x H z ) G ( y H z ) ) ) /\ E. x e. X A. y e. X ( ( x H y ) = y /\ ( y H x ) = y ) ) ) |
6 |
5
|
simpld |
|- ( R e. RingOps -> A. x e. X A. y e. X A. z e. X ( ( ( x H y ) H z ) = ( x H ( y H z ) ) /\ ( x H ( y G z ) ) = ( ( x H y ) G ( x H z ) ) /\ ( ( x G y ) H z ) = ( ( x H z ) G ( y H z ) ) ) ) |
7 |
|
simp3 |
|- ( ( ( ( x H y ) H z ) = ( x H ( y H z ) ) /\ ( x H ( y G z ) ) = ( ( x H y ) G ( x H z ) ) /\ ( ( x G y ) H z ) = ( ( x H z ) G ( y H z ) ) ) -> ( ( x G y ) H z ) = ( ( x H z ) G ( y H z ) ) ) |
8 |
7
|
ralimi |
|- ( A. z e. X ( ( ( x H y ) H z ) = ( x H ( y H z ) ) /\ ( x H ( y G z ) ) = ( ( x H y ) G ( x H z ) ) /\ ( ( x G y ) H z ) = ( ( x H z ) G ( y H z ) ) ) -> A. z e. X ( ( x G y ) H z ) = ( ( x H z ) G ( y H z ) ) ) |
9 |
8
|
2ralimi |
|- ( A. x e. X A. y e. X A. z e. X ( ( ( x H y ) H z ) = ( x H ( y H z ) ) /\ ( x H ( y G z ) ) = ( ( x H y ) G ( x H z ) ) /\ ( ( x G y ) H z ) = ( ( x H z ) G ( y H z ) ) ) -> A. x e. X A. y e. X A. z e. X ( ( x G y ) H z ) = ( ( x H z ) G ( y H z ) ) ) |
10 |
|
oveq1 |
|- ( x = A -> ( x G y ) = ( A G y ) ) |
11 |
10
|
oveq1d |
|- ( x = A -> ( ( x G y ) H z ) = ( ( A G y ) H z ) ) |
12 |
|
oveq1 |
|- ( x = A -> ( x H z ) = ( A H z ) ) |
13 |
12
|
oveq1d |
|- ( x = A -> ( ( x H z ) G ( y H z ) ) = ( ( A H z ) G ( y H z ) ) ) |
14 |
11 13
|
eqeq12d |
|- ( x = A -> ( ( ( x G y ) H z ) = ( ( x H z ) G ( y H z ) ) <-> ( ( A G y ) H z ) = ( ( A H z ) G ( y H z ) ) ) ) |
15 |
|
oveq2 |
|- ( y = B -> ( A G y ) = ( A G B ) ) |
16 |
15
|
oveq1d |
|- ( y = B -> ( ( A G y ) H z ) = ( ( A G B ) H z ) ) |
17 |
|
oveq1 |
|- ( y = B -> ( y H z ) = ( B H z ) ) |
18 |
17
|
oveq2d |
|- ( y = B -> ( ( A H z ) G ( y H z ) ) = ( ( A H z ) G ( B H z ) ) ) |
19 |
16 18
|
eqeq12d |
|- ( y = B -> ( ( ( A G y ) H z ) = ( ( A H z ) G ( y H z ) ) <-> ( ( A G B ) H z ) = ( ( A H z ) G ( B H z ) ) ) ) |
20 |
|
oveq2 |
|- ( z = C -> ( ( A G B ) H z ) = ( ( A G B ) H C ) ) |
21 |
|
oveq2 |
|- ( z = C -> ( A H z ) = ( A H C ) ) |
22 |
|
oveq2 |
|- ( z = C -> ( B H z ) = ( B H C ) ) |
23 |
21 22
|
oveq12d |
|- ( z = C -> ( ( A H z ) G ( B H z ) ) = ( ( A H C ) G ( B H C ) ) ) |
24 |
20 23
|
eqeq12d |
|- ( z = C -> ( ( ( A G B ) H z ) = ( ( A H z ) G ( B H z ) ) <-> ( ( A G B ) H C ) = ( ( A H C ) G ( B H C ) ) ) ) |
25 |
14 19 24
|
rspc3v |
|- ( ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) -> ( A. x e. X A. y e. X A. z e. X ( ( x G y ) H z ) = ( ( x H z ) G ( y H z ) ) -> ( ( A G B ) H C ) = ( ( A H C ) G ( B H C ) ) ) ) |
26 |
9 25
|
syl5 |
|- ( ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) -> ( A. x e. X A. y e. X A. z e. X ( ( ( x H y ) H z ) = ( x H ( y H z ) ) /\ ( x H ( y G z ) ) = ( ( x H y ) G ( x H z ) ) /\ ( ( x G y ) H z ) = ( ( x H z ) G ( y H z ) ) ) -> ( ( A G B ) H C ) = ( ( A H C ) G ( B H C ) ) ) ) |
27 |
6 26
|
mpan9 |
|- ( ( R e. RingOps /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( ( A G B ) H C ) = ( ( A H C ) G ( B H C ) ) ) |