Theorem sleneg

Description: Negative of both sides of surreal less-than or equal. (Contributed by Scott Fenton, 3-Feb-2025)

	Ref	Expression
Assertion	sleneg	|- ( ( A e. No /\ B e. No ) -> ( A <_s B <-> ( -us ` B ) <_s ( -us ` A ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sltneg	|- ( ( B e. No /\ A e. No ) -> ( B ( -us ` A )
2	1	ancoms	|- ( ( A e. No /\ B e. No ) -> ( B ( -us ` A )
3	2	notbid	|- ( ( A e. No /\ B e. No ) -> ( -. B -. ( -us ` A )
4		slenlt	|- ( ( A e. No /\ B e. No ) -> ( A <_s B <-> -. B
5		negscl	|- ( B e. No -> ( -us ` B ) e. No )
6		negscl	|- ( A e. No -> ( -us ` A ) e. No )
7		slenlt	|- ( ( ( -us ` B ) e. No /\ ( -us ` A ) e. No ) -> ( ( -us ` B ) <_s ( -us ` A ) <-> -. ( -us ` A )
8	5 6 7	syl2anr	|- ( ( A e. No /\ B e. No ) -> ( ( -us ` B ) <_s ( -us ` A ) <-> -. ( -us ` A )
9	3 4 8	3bitr4d	|- ( ( A e. No /\ B e. No ) -> ( A <_s B <-> ( -us ` B ) <_s ( -us ` A ) ) )