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Theorem srgpcomp

Description: If two elements of a semiring commute, they also commute if one of the elements is raised to a higher power. (Contributed by AV, 23-Aug-2019)

Ref Expression
Hypotheses srgpcomp.s 
|- S = ( Base ` R )
srgpcomp.m 
|- .X. = ( .r ` R )
srgpcomp.g 
|- G = ( mulGrp ` R )
srgpcomp.e 
|- .^ = ( .g ` G )
srgpcomp.r 
|- ( ph -> R e. SRing )
srgpcomp.a 
|- ( ph -> A e. S )
srgpcomp.b 
|- ( ph -> B e. S )
srgpcomp.k 
|- ( ph -> K e. NN0 )
srgpcomp.c 
|- ( ph -> ( A .X. B ) = ( B .X. A ) )
Assertion srgpcomp 
|- ( ph -> ( ( K .^ B ) .X. A ) = ( A .X. ( K .^ B ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 srgpcomp.s 
 |-  S = ( Base ` R )
2 srgpcomp.m 
 |-  .X. = ( .r ` R )
3 srgpcomp.g 
 |-  G = ( mulGrp ` R )
4 srgpcomp.e 
 |-  .^ = ( .g ` G )
5 srgpcomp.r 
 |-  ( ph -> R e. SRing )
6 srgpcomp.a 
 |-  ( ph -> A e. S )
7 srgpcomp.b 
 |-  ( ph -> B e. S )
8 srgpcomp.k 
 |-  ( ph -> K e. NN0 )
9 srgpcomp.c 
 |-  ( ph -> ( A .X. B ) = ( B .X. A ) )
10 oveq1 
 |-  ( x = 0 -> ( x .^ B ) = ( 0 .^ B ) )
11 10 oveq1d 
 |-  ( x = 0 -> ( ( x .^ B ) .X. A ) = ( ( 0 .^ B ) .X. A ) )
12 10 oveq2d 
 |-  ( x = 0 -> ( A .X. ( x .^ B ) ) = ( A .X. ( 0 .^ B ) ) )
13 11 12 eqeq12d 
 |-  ( x = 0 -> ( ( ( x .^ B ) .X. A ) = ( A .X. ( x .^ B ) ) <-> ( ( 0 .^ B ) .X. A ) = ( A .X. ( 0 .^ B ) ) ) )
14 13 imbi2d 
 |-  ( x = 0 -> ( ( ph -> ( ( x .^ B ) .X. A ) = ( A .X. ( x .^ B ) ) ) <-> ( ph -> ( ( 0 .^ B ) .X. A ) = ( A .X. ( 0 .^ B ) ) ) ) )
15 oveq1 
 |-  ( x = y -> ( x .^ B ) = ( y .^ B ) )
16 15 oveq1d 
 |-  ( x = y -> ( ( x .^ B ) .X. A ) = ( ( y .^ B ) .X. A ) )
17 15 oveq2d 
 |-  ( x = y -> ( A .X. ( x .^ B ) ) = ( A .X. ( y .^ B ) ) )
18 16 17 eqeq12d 
 |-  ( x = y -> ( ( ( x .^ B ) .X. A ) = ( A .X. ( x .^ B ) ) <-> ( ( y .^ B ) .X. A ) = ( A .X. ( y .^ B ) ) ) )
19 18 imbi2d 
 |-  ( x = y -> ( ( ph -> ( ( x .^ B ) .X. A ) = ( A .X. ( x .^ B ) ) ) <-> ( ph -> ( ( y .^ B ) .X. A ) = ( A .X. ( y .^ B ) ) ) ) )
20 oveq1 
 |-  ( x = ( y + 1 ) -> ( x .^ B ) = ( ( y + 1 ) .^ B ) )
21 20 oveq1d 
 |-  ( x = ( y + 1 ) -> ( ( x .^ B ) .X. A ) = ( ( ( y + 1 ) .^ B ) .X. A ) )
22 20 oveq2d 
 |-  ( x = ( y + 1 ) -> ( A .X. ( x .^ B ) ) = ( A .X. ( ( y + 1 ) .^ B ) ) )
23 21 22 eqeq12d 
 |-  ( x = ( y + 1 ) -> ( ( ( x .^ B ) .X. A ) = ( A .X. ( x .^ B ) ) <-> ( ( ( y + 1 ) .^ B ) .X. A ) = ( A .X. ( ( y + 1 ) .^ B ) ) ) )
24 23 imbi2d 
 |-  ( x = ( y + 1 ) -> ( ( ph -> ( ( x .^ B ) .X. A ) = ( A .X. ( x .^ B ) ) ) <-> ( ph -> ( ( ( y + 1 ) .^ B ) .X. A ) = ( A .X. ( ( y + 1 ) .^ B ) ) ) ) )
25 oveq1 
 |-  ( x = K -> ( x .^ B ) = ( K .^ B ) )
26 25 oveq1d 
 |-  ( x = K -> ( ( x .^ B ) .X. A ) = ( ( K .^ B ) .X. A ) )
27 25 oveq2d 
 |-  ( x = K -> ( A .X. ( x .^ B ) ) = ( A .X. ( K .^ B ) ) )
28 26 27 eqeq12d 
 |-  ( x = K -> ( ( ( x .^ B ) .X. A ) = ( A .X. ( x .^ B ) ) <-> ( ( K .^ B ) .X. A ) = ( A .X. ( K .^ B ) ) ) )
29 28 imbi2d 
 |-  ( x = K -> ( ( ph -> ( ( x .^ B ) .X. A ) = ( A .X. ( x .^ B ) ) ) <-> ( ph -> ( ( K .^ B ) .X. A ) = ( A .X. ( K .^ B ) ) ) ) )
30 3 1 mgpbas 
 |-  S = ( Base ` G )
31 eqid 
 |-  ( 1r ` R ) = ( 1r ` R )
32 3 31 ringidval 
 |-  ( 1r ` R ) = ( 0g ` G )
33 30 32 4 mulg0 
 |-  ( B e. S -> ( 0 .^ B ) = ( 1r ` R ) )
34 7 33 syl 
 |-  ( ph -> ( 0 .^ B ) = ( 1r ` R ) )
35 34 oveq1d 
 |-  ( ph -> ( ( 0 .^ B ) .X. A ) = ( ( 1r ` R ) .X. A ) )
36 1 2 31 srgridm 
 |-  ( ( R e. SRing /\ A e. S ) -> ( A .X. ( 1r ` R ) ) = A )
37 5 6 36 syl2anc 
 |-  ( ph -> ( A .X. ( 1r ` R ) ) = A )
38 34 oveq2d 
 |-  ( ph -> ( A .X. ( 0 .^ B ) ) = ( A .X. ( 1r ` R ) ) )
39 1 2 31 srglidm 
 |-  ( ( R e. SRing /\ A e. S ) -> ( ( 1r ` R ) .X. A ) = A )
40 5 6 39 syl2anc 
 |-  ( ph -> ( ( 1r ` R ) .X. A ) = A )
41 37 38 40 3eqtr4rd 
 |-  ( ph -> ( ( 1r ` R ) .X. A ) = ( A .X. ( 0 .^ B ) ) )
42 35 41 eqtrd 
 |-  ( ph -> ( ( 0 .^ B ) .X. A ) = ( A .X. ( 0 .^ B ) ) )
43 3 srgmgp 
 |-  ( R e. SRing -> G e. Mnd )
44 5 43 syl 
 |-  ( ph -> G e. Mnd )
45 44 adantr 
 |-  ( ( ph /\ y e. NN0 ) -> G e. Mnd )
46 simpr 
 |-  ( ( ph /\ y e. NN0 ) -> y e. NN0 )
47 7 adantr 
 |-  ( ( ph /\ y e. NN0 ) -> B e. S )
48 3 2 mgpplusg 
 |-  .X. = ( +g ` G )
49 30 4 48 mulgnn0p1 
 |-  ( ( G e. Mnd /\ y e. NN0 /\ B e. S ) -> ( ( y + 1 ) .^ B ) = ( ( y .^ B ) .X. B ) )
50 45 46 47 49 syl3anc 
 |-  ( ( ph /\ y e. NN0 ) -> ( ( y + 1 ) .^ B ) = ( ( y .^ B ) .X. B ) )
51 50 oveq1d 
 |-  ( ( ph /\ y e. NN0 ) -> ( ( ( y + 1 ) .^ B ) .X. A ) = ( ( ( y .^ B ) .X. B ) .X. A ) )
52 9 eqcomd 
 |-  ( ph -> ( B .X. A ) = ( A .X. B ) )
53 52 adantr 
 |-  ( ( ph /\ y e. NN0 ) -> ( B .X. A ) = ( A .X. B ) )
54 53 oveq2d 
 |-  ( ( ph /\ y e. NN0 ) -> ( ( y .^ B ) .X. ( B .X. A ) ) = ( ( y .^ B ) .X. ( A .X. B ) ) )
55 5 adantr 
 |-  ( ( ph /\ y e. NN0 ) -> R e. SRing )
56 30 4 45 46 47 mulgnn0cld 
 |-  ( ( ph /\ y e. NN0 ) -> ( y .^ B ) e. S )
57 6 adantr 
 |-  ( ( ph /\ y e. NN0 ) -> A e. S )
58 1 2 srgass 
 |-  ( ( R e. SRing /\ ( ( y .^ B ) e. S /\ B e. S /\ A e. S ) ) -> ( ( ( y .^ B ) .X. B ) .X. A ) = ( ( y .^ B ) .X. ( B .X. A ) ) )
59 55 56 47 57 58 syl13anc 
 |-  ( ( ph /\ y e. NN0 ) -> ( ( ( y .^ B ) .X. B ) .X. A ) = ( ( y .^ B ) .X. ( B .X. A ) ) )
60 1 2 srgass 
 |-  ( ( R e. SRing /\ ( ( y .^ B ) e. S /\ A e. S /\ B e. S ) ) -> ( ( ( y .^ B ) .X. A ) .X. B ) = ( ( y .^ B ) .X. ( A .X. B ) ) )
61 55 56 57 47 60 syl13anc 
 |-  ( ( ph /\ y e. NN0 ) -> ( ( ( y .^ B ) .X. A ) .X. B ) = ( ( y .^ B ) .X. ( A .X. B ) ) )
62 54 59 61 3eqtr4d 
 |-  ( ( ph /\ y e. NN0 ) -> ( ( ( y .^ B ) .X. B ) .X. A ) = ( ( ( y .^ B ) .X. A ) .X. B ) )
63 51 62 eqtrd 
 |-  ( ( ph /\ y e. NN0 ) -> ( ( ( y + 1 ) .^ B ) .X. A ) = ( ( ( y .^ B ) .X. A ) .X. B ) )
64 63 adantr 
 |-  ( ( ( ph /\ y e. NN0 ) /\ ( ( y .^ B ) .X. A ) = ( A .X. ( y .^ B ) ) ) -> ( ( ( y + 1 ) .^ B ) .X. A ) = ( ( ( y .^ B ) .X. A ) .X. B ) )
65 oveq1 
 |-  ( ( ( y .^ B ) .X. A ) = ( A .X. ( y .^ B ) ) -> ( ( ( y .^ B ) .X. A ) .X. B ) = ( ( A .X. ( y .^ B ) ) .X. B ) )
66 1 2 srgass 
 |-  ( ( R e. SRing /\ ( A e. S /\ ( y .^ B ) e. S /\ B e. S ) ) -> ( ( A .X. ( y .^ B ) ) .X. B ) = ( A .X. ( ( y .^ B ) .X. B ) ) )
67 55 57 56 47 66 syl13anc 
 |-  ( ( ph /\ y e. NN0 ) -> ( ( A .X. ( y .^ B ) ) .X. B ) = ( A .X. ( ( y .^ B ) .X. B ) ) )
68 50 eqcomd 
 |-  ( ( ph /\ y e. NN0 ) -> ( ( y .^ B ) .X. B ) = ( ( y + 1 ) .^ B ) )
69 68 oveq2d 
 |-  ( ( ph /\ y e. NN0 ) -> ( A .X. ( ( y .^ B ) .X. B ) ) = ( A .X. ( ( y + 1 ) .^ B ) ) )
70 67 69 eqtrd 
 |-  ( ( ph /\ y e. NN0 ) -> ( ( A .X. ( y .^ B ) ) .X. B ) = ( A .X. ( ( y + 1 ) .^ B ) ) )
71 65 70 sylan9eqr 
 |-  ( ( ( ph /\ y e. NN0 ) /\ ( ( y .^ B ) .X. A ) = ( A .X. ( y .^ B ) ) ) -> ( ( ( y .^ B ) .X. A ) .X. B ) = ( A .X. ( ( y + 1 ) .^ B ) ) )
72 64 71 eqtrd 
 |-  ( ( ( ph /\ y e. NN0 ) /\ ( ( y .^ B ) .X. A ) = ( A .X. ( y .^ B ) ) ) -> ( ( ( y + 1 ) .^ B ) .X. A ) = ( A .X. ( ( y + 1 ) .^ B ) ) )
73 72 ex 
 |-  ( ( ph /\ y e. NN0 ) -> ( ( ( y .^ B ) .X. A ) = ( A .X. ( y .^ B ) ) -> ( ( ( y + 1 ) .^ B ) .X. A ) = ( A .X. ( ( y + 1 ) .^ B ) ) ) )
74 73 expcom 
 |-  ( y e. NN0 -> ( ph -> ( ( ( y .^ B ) .X. A ) = ( A .X. ( y .^ B ) ) -> ( ( ( y + 1 ) .^ B ) .X. A ) = ( A .X. ( ( y + 1 ) .^ B ) ) ) ) )
75 74 a2d 
 |-  ( y e. NN0 -> ( ( ph -> ( ( y .^ B ) .X. A ) = ( A .X. ( y .^ B ) ) ) -> ( ph -> ( ( ( y + 1 ) .^ B ) .X. A ) = ( A .X. ( ( y + 1 ) .^ B ) ) ) ) )
76 14 19 24 29 42 75 nn0ind 
 |-  ( K e. NN0 -> ( ph -> ( ( K .^ B ) .X. A ) = ( A .X. ( K .^ B ) ) ) )
77 8 76 mpcom 
 |-  ( ph -> ( ( K .^ B ) .X. A ) = ( A .X. ( K .^ B ) ) )