Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
simp1l |
|- ( ( ( D e. ( PsMet ` X ) /\ P e. X ) /\ ( R e. RR* /\ S e. RR* ) /\ R <_ S ) -> D e. ( PsMet ` X ) ) |
2 |
|
simp1r |
|- ( ( ( D e. ( PsMet ` X ) /\ P e. X ) /\ ( R e. RR* /\ S e. RR* ) /\ R <_ S ) -> P e. X ) |
3 |
|
simp2l |
|- ( ( ( D e. ( PsMet ` X ) /\ P e. X ) /\ ( R e. RR* /\ S e. RR* ) /\ R <_ S ) -> R e. RR* ) |
4 |
|
simp2r |
|- ( ( ( D e. ( PsMet ` X ) /\ P e. X ) /\ ( R e. RR* /\ S e. RR* ) /\ R <_ S ) -> S e. RR* ) |
5 |
|
psmet0 |
|- ( ( D e. ( PsMet ` X ) /\ P e. X ) -> ( P D P ) = 0 ) |
6 |
5
|
3ad2ant1 |
|- ( ( ( D e. ( PsMet ` X ) /\ P e. X ) /\ ( R e. RR* /\ S e. RR* ) /\ R <_ S ) -> ( P D P ) = 0 ) |
7 |
|
0re |
|- 0 e. RR |
8 |
6 7
|
eqeltrdi |
|- ( ( ( D e. ( PsMet ` X ) /\ P e. X ) /\ ( R e. RR* /\ S e. RR* ) /\ R <_ S ) -> ( P D P ) e. RR ) |
9 |
|
simp3 |
|- ( ( ( D e. ( PsMet ` X ) /\ P e. X ) /\ ( R e. RR* /\ S e. RR* ) /\ R <_ S ) -> R <_ S ) |
10 |
|
xsubge0 |
|- ( ( S e. RR* /\ R e. RR* ) -> ( 0 <_ ( S +e -e R ) <-> R <_ S ) ) |
11 |
4 3 10
|
syl2anc |
|- ( ( ( D e. ( PsMet ` X ) /\ P e. X ) /\ ( R e. RR* /\ S e. RR* ) /\ R <_ S ) -> ( 0 <_ ( S +e -e R ) <-> R <_ S ) ) |
12 |
9 11
|
mpbird |
|- ( ( ( D e. ( PsMet ` X ) /\ P e. X ) /\ ( R e. RR* /\ S e. RR* ) /\ R <_ S ) -> 0 <_ ( S +e -e R ) ) |
13 |
6 12
|
eqbrtrd |
|- ( ( ( D e. ( PsMet ` X ) /\ P e. X ) /\ ( R e. RR* /\ S e. RR* ) /\ R <_ S ) -> ( P D P ) <_ ( S +e -e R ) ) |
14 |
1 2 2 3 4 8 13
|
xblss2ps |
|- ( ( ( D e. ( PsMet ` X ) /\ P e. X ) /\ ( R e. RR* /\ S e. RR* ) /\ R <_ S ) -> ( P ( ball ` D ) R ) C_ ( P ( ball ` D ) S ) ) |