Theorem ssequn1

Description: A relationship between subclass and union. Theorem 26 of Suppes p. 27. (Contributed by NM, 30-Aug-1993) (Proof shortened by Andrew Salmon, 26-Jun-2011)

	Ref	Expression
Assertion	ssequn1	|- ( A C_ B <-> ( A u. B ) = B )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bicom	|- ( ( x e. B <-> ( x e. A \/ x e. B ) ) <-> ( ( x e. A \/ x e. B ) <-> x e. B ) )
2		pm4.72	|- ( ( x e. A -> x e. B ) <-> ( x e. B <-> ( x e. A \/ x e. B ) ) )
3		elun	|- ( x e. ( A u. B ) <-> ( x e. A \/ x e. B ) )
4	3	bibi1i	|- ( ( x e. ( A u. B ) <-> x e. B ) <-> ( ( x e. A \/ x e. B ) <-> x e. B ) )
5	1 2 4	3bitr4i	|- ( ( x e. A -> x e. B ) <-> ( x e. ( A u. B ) <-> x e. B ) )
6	5	albii	|- ( A. x ( x e. A -> x e. B ) <-> A. x ( x e. ( A u. B ) <-> x e. B ) )
7		dfss2	|- ( A C_ B <-> A. x ( x e. A -> x e. B ) )
8		dfcleq	|- ( ( A u. B ) = B <-> A. x ( x e. ( A u. B ) <-> x e. B ) )
9	6 7 8	3bitr4i	|- ( A C_ B <-> ( A u. B ) = B )