Metamath Proof Explorer

Theorem stgr1

Description: The star graph S_1 consists of a single simple edge. (Contributed by AV, 11-Sep-2025)

Ref Expression
Assertion stgr1 
|- ( StarGr ` 1 ) = { <. ( Base ` ndx ) , { 0 , 1 } >. , <. ( .ef ` ndx ) , ( _I |` { { 0 , 1 } } ) >. }

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 1nn0 
 |-  1 e. NN0
2 stgrfv 
 |-  ( 1 e. NN0 -> ( StarGr ` 1 ) = { <. ( Base ` ndx ) , ( 0 ... 1 ) >. , <. ( .ef ` ndx ) , ( _I |` { e e. ~P ( 0 ... 1 ) | E. x e. ( 1 ... 1 ) e = { 0 , x } } ) >. } )
3 1 2 ax-mp 
 |-  ( StarGr ` 1 ) = { <. ( Base ` ndx ) , ( 0 ... 1 ) >. , <. ( .ef ` ndx ) , ( _I |` { e e. ~P ( 0 ... 1 ) | E. x e. ( 1 ... 1 ) e = { 0 , x } } ) >. }
4 fz01pr 
 |-  ( 0 ... 1 ) = { 0 , 1 }
5 4 opeq2i 
 |-  <. ( Base ` ndx ) , ( 0 ... 1 ) >. = <. ( Base ` ndx ) , { 0 , 1 } >.
6 elsni 
 |-  ( x e. { 1 } -> x = 1 )
7 preq2 
 |-  ( x = 1 -> { 0 , x } = { 0 , 1 } )
8 7 eqeq2d 
 |-  ( x = 1 -> ( e = { 0 , x } <-> e = { 0 , 1 } ) )
9 8 biimpd 
 |-  ( x = 1 -> ( e = { 0 , x } -> e = { 0 , 1 } ) )
10 6 9 syl 
 |-  ( x e. { 1 } -> ( e = { 0 , x } -> e = { 0 , 1 } ) )
11 1z 
 |-  1 e. ZZ
12 fzsn 
 |-  ( 1 e. ZZ -> ( 1 ... 1 ) = { 1 } )
13 11 12 ax-mp 
 |-  ( 1 ... 1 ) = { 1 }
14 10 13 eleq2s 
 |-  ( x e. ( 1 ... 1 ) -> ( e = { 0 , x } -> e = { 0 , 1 } ) )
15 14 rexlimiv 
 |-  ( E. x e. ( 1 ... 1 ) e = { 0 , x } -> e = { 0 , 1 } )
16 15 adantl 
 |-  ( ( e e. ~P ( 0 ... 1 ) /\ E. x e. ( 1 ... 1 ) e = { 0 , x } ) -> e = { 0 , 1 } )
17 0elpr01 
 |-  0 e. { 0 , 1 }
18 17 4 eleqtrri 
 |-  0 e. ( 0 ... 1 )
19 1elpr01 
 |-  1 e. { 0 , 1 }
20 19 4 eleqtrri 
 |-  1 e. ( 0 ... 1 )
21 prelpwi 
 |-  ( ( 0 e. ( 0 ... 1 ) /\ 1 e. ( 0 ... 1 ) ) -> { 0 , 1 } e. ~P ( 0 ... 1 ) )
22 18 20 21 mp2an 
 |-  { 0 , 1 } e. ~P ( 0 ... 1 )
23 eqid 
 |-  { 0 , 1 } = { 0 , 1 }
24 13 rexeqi 
 |-  ( E. x e. ( 1 ... 1 ) { 0 , 1 } = { 0 , x } <-> E. x e. { 1 } { 0 , 1 } = { 0 , x } )
25 1ex 
 |-  1 e. _V
26 7 eqeq2d 
 |-  ( x = 1 -> ( { 0 , 1 } = { 0 , x } <-> { 0 , 1 } = { 0 , 1 } ) )
27 25 26 rexsn 
 |-  ( E. x e. { 1 } { 0 , 1 } = { 0 , x } <-> { 0 , 1 } = { 0 , 1 } )
28 24 27 bitri 
 |-  ( E. x e. ( 1 ... 1 ) { 0 , 1 } = { 0 , x } <-> { 0 , 1 } = { 0 , 1 } )
29 23 28 mpbir 
 |-  E. x e. ( 1 ... 1 ) { 0 , 1 } = { 0 , x }
30 22 29 pm3.2i 
 |-  ( { 0 , 1 } e. ~P ( 0 ... 1 ) /\ E. x e. ( 1 ... 1 ) { 0 , 1 } = { 0 , x } )
31 eleq1 
 |-  ( e = { 0 , 1 } -> ( e e. ~P ( 0 ... 1 ) <-> { 0 , 1 } e. ~P ( 0 ... 1 ) ) )
32 eqeq1 
 |-  ( e = { 0 , 1 } -> ( e = { 0 , x } <-> { 0 , 1 } = { 0 , x } ) )
33 32 rexbidv 
 |-  ( e = { 0 , 1 } -> ( E. x e. ( 1 ... 1 ) e = { 0 , x } <-> E. x e. ( 1 ... 1 ) { 0 , 1 } = { 0 , x } ) )
34 31 33 anbi12d 
 |-  ( e = { 0 , 1 } -> ( ( e e. ~P ( 0 ... 1 ) /\ E. x e. ( 1 ... 1 ) e = { 0 , x } ) <-> ( { 0 , 1 } e. ~P ( 0 ... 1 ) /\ E. x e. ( 1 ... 1 ) { 0 , 1 } = { 0 , x } ) ) )
35 30 34 mpbiri 
 |-  ( e = { 0 , 1 } -> ( e e. ~P ( 0 ... 1 ) /\ E. x e. ( 1 ... 1 ) e = { 0 , x } ) )
36 16 35 impbii 
 |-  ( ( e e. ~P ( 0 ... 1 ) /\ E. x e. ( 1 ... 1 ) e = { 0 , x } ) <-> e = { 0 , 1 } )
37 36 abbii 
 |-  { e | ( e e. ~P ( 0 ... 1 ) /\ E. x e. ( 1 ... 1 ) e = { 0 , x } ) } = { e | e = { 0 , 1 } }
38 df-rab 
 |-  { e e. ~P ( 0 ... 1 ) | E. x e. ( 1 ... 1 ) e = { 0 , x } } = { e | ( e e. ~P ( 0 ... 1 ) /\ E. x e. ( 1 ... 1 ) e = { 0 , x } ) }
39 df-sn 
 |-  { { 0 , 1 } } = { e | e = { 0 , 1 } }
40 37 38 39 3eqtr4i 
 |-  { e e. ~P ( 0 ... 1 ) | E. x e. ( 1 ... 1 ) e = { 0 , x } } = { { 0 , 1 } }
41 40 reseq2i 
 |-  ( _I |` { e e. ~P ( 0 ... 1 ) | E. x e. ( 1 ... 1 ) e = { 0 , x } } ) = ( _I |` { { 0 , 1 } } )
42 41 opeq2i 
 |-  <. ( .ef ` ndx ) , ( _I |` { e e. ~P ( 0 ... 1 ) | E. x e. ( 1 ... 1 ) e = { 0 , x } } ) >. = <. ( .ef ` ndx ) , ( _I |` { { 0 , 1 } } ) >.
43 5 42 preq12i 
 |-  { <. ( Base ` ndx ) , ( 0 ... 1 ) >. , <. ( .ef ` ndx ) , ( _I |` { e e. ~P ( 0 ... 1 ) | E. x e. ( 1 ... 1 ) e = { 0 , x } } ) >. } = { <. ( Base ` ndx ) , { 0 , 1 } >. , <. ( .ef ` ndx ) , ( _I |` { { 0 , 1 } } ) >. }
44 3 43 eqtri 
 |-  ( StarGr ` 1 ) = { <. ( Base ` ndx ) , { 0 , 1 } >. , <. ( .ef ` ndx ) , ( _I |` { { 0 , 1 } } ) >. }