Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
taylth.f |
|- ( ph -> F : A --> RR ) |
2 |
|
taylth.a |
|- ( ph -> A C_ RR ) |
3 |
|
taylth.d |
|- ( ph -> dom ( ( RR Dn F ) ` N ) = A ) |
4 |
|
taylth.n |
|- ( ph -> N e. NN ) |
5 |
|
taylth.b |
|- ( ph -> B e. A ) |
6 |
|
taylth.t |
|- T = ( N ( RR Tayl F ) B ) |
7 |
|
taylth.r |
|- R = ( x e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( F ` x ) - ( T ` x ) ) / ( ( x - B ) ^ N ) ) ) |
8 |
|
reelprrecn |
|- RR e. { RR , CC } |
9 |
8
|
a1i |
|- ( ph -> RR e. { RR , CC } ) |
10 |
|
ax-resscn |
|- RR C_ CC |
11 |
|
fss |
|- ( ( F : A --> RR /\ RR C_ CC ) -> F : A --> CC ) |
12 |
1 10 11
|
sylancl |
|- ( ph -> F : A --> CC ) |
13 |
1
|
adantr |
|- ( ( ph /\ ( m e. ( 1 ..^ N ) /\ 0 e. ( ( y e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( ( ( RR Dn F ) ` ( N - m ) ) ` y ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - m ) ) ` y ) ) / ( ( y - B ) ^ m ) ) ) limCC B ) ) ) -> F : A --> RR ) |
14 |
2
|
adantr |
|- ( ( ph /\ ( m e. ( 1 ..^ N ) /\ 0 e. ( ( y e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( ( ( RR Dn F ) ` ( N - m ) ) ` y ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - m ) ) ` y ) ) / ( ( y - B ) ^ m ) ) ) limCC B ) ) ) -> A C_ RR ) |
15 |
3
|
adantr |
|- ( ( ph /\ ( m e. ( 1 ..^ N ) /\ 0 e. ( ( y e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( ( ( RR Dn F ) ` ( N - m ) ) ` y ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - m ) ) ` y ) ) / ( ( y - B ) ^ m ) ) ) limCC B ) ) ) -> dom ( ( RR Dn F ) ` N ) = A ) |
16 |
4
|
adantr |
|- ( ( ph /\ ( m e. ( 1 ..^ N ) /\ 0 e. ( ( y e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( ( ( RR Dn F ) ` ( N - m ) ) ` y ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - m ) ) ` y ) ) / ( ( y - B ) ^ m ) ) ) limCC B ) ) ) -> N e. NN ) |
17 |
5
|
adantr |
|- ( ( ph /\ ( m e. ( 1 ..^ N ) /\ 0 e. ( ( y e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( ( ( RR Dn F ) ` ( N - m ) ) ` y ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - m ) ) ` y ) ) / ( ( y - B ) ^ m ) ) ) limCC B ) ) ) -> B e. A ) |
18 |
|
simprl |
|- ( ( ph /\ ( m e. ( 1 ..^ N ) /\ 0 e. ( ( y e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( ( ( RR Dn F ) ` ( N - m ) ) ` y ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - m ) ) ` y ) ) / ( ( y - B ) ^ m ) ) ) limCC B ) ) ) -> m e. ( 1 ..^ N ) ) |
19 |
|
simprr |
|- ( ( ph /\ ( m e. ( 1 ..^ N ) /\ 0 e. ( ( y e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( ( ( RR Dn F ) ` ( N - m ) ) ` y ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - m ) ) ` y ) ) / ( ( y - B ) ^ m ) ) ) limCC B ) ) ) -> 0 e. ( ( y e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( ( ( RR Dn F ) ` ( N - m ) ) ` y ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - m ) ) ` y ) ) / ( ( y - B ) ^ m ) ) ) limCC B ) ) |
20 |
|
fveq2 |
|- ( y = x -> ( ( ( RR Dn F ) ` ( N - m ) ) ` y ) = ( ( ( RR Dn F ) ` ( N - m ) ) ` x ) ) |
21 |
|
fveq2 |
|- ( y = x -> ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - m ) ) ` y ) = ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - m ) ) ` x ) ) |
22 |
20 21
|
oveq12d |
|- ( y = x -> ( ( ( ( RR Dn F ) ` ( N - m ) ) ` y ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - m ) ) ` y ) ) = ( ( ( ( RR Dn F ) ` ( N - m ) ) ` x ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - m ) ) ` x ) ) ) |
23 |
|
oveq1 |
|- ( y = x -> ( y - B ) = ( x - B ) ) |
24 |
23
|
oveq1d |
|- ( y = x -> ( ( y - B ) ^ m ) = ( ( x - B ) ^ m ) ) |
25 |
22 24
|
oveq12d |
|- ( y = x -> ( ( ( ( ( RR Dn F ) ` ( N - m ) ) ` y ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - m ) ) ` y ) ) / ( ( y - B ) ^ m ) ) = ( ( ( ( ( RR Dn F ) ` ( N - m ) ) ` x ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - m ) ) ` x ) ) / ( ( x - B ) ^ m ) ) ) |
26 |
25
|
cbvmptv |
|- ( y e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( ( ( RR Dn F ) ` ( N - m ) ) ` y ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - m ) ) ` y ) ) / ( ( y - B ) ^ m ) ) ) = ( x e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( ( ( RR Dn F ) ` ( N - m ) ) ` x ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - m ) ) ` x ) ) / ( ( x - B ) ^ m ) ) ) |
27 |
26
|
oveq1i |
|- ( ( y e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( ( ( RR Dn F ) ` ( N - m ) ) ` y ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - m ) ) ` y ) ) / ( ( y - B ) ^ m ) ) ) limCC B ) = ( ( x e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( ( ( RR Dn F ) ` ( N - m ) ) ` x ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - m ) ) ` x ) ) / ( ( x - B ) ^ m ) ) ) limCC B ) |
28 |
19 27
|
eleqtrdi |
|- ( ( ph /\ ( m e. ( 1 ..^ N ) /\ 0 e. ( ( y e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( ( ( RR Dn F ) ` ( N - m ) ) ` y ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - m ) ) ` y ) ) / ( ( y - B ) ^ m ) ) ) limCC B ) ) ) -> 0 e. ( ( x e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( ( ( RR Dn F ) ` ( N - m ) ) ` x ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - m ) ) ` x ) ) / ( ( x - B ) ^ m ) ) ) limCC B ) ) |
29 |
13 14 15 16 17 6 18 28
|
taylthlem2 |
|- ( ( ph /\ ( m e. ( 1 ..^ N ) /\ 0 e. ( ( y e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( ( ( RR Dn F ) ` ( N - m ) ) ` y ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - m ) ) ` y ) ) / ( ( y - B ) ^ m ) ) ) limCC B ) ) ) -> 0 e. ( ( x e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( ( ( RR Dn F ) ` ( N - ( m + 1 ) ) ) ` x ) - ( ( ( CC Dn T ) ` ( N - ( m + 1 ) ) ) ` x ) ) / ( ( x - B ) ^ ( m + 1 ) ) ) ) limCC B ) ) |
30 |
9 12 2 3 4 5 6 7 29
|
taylthlem1 |
|- ( ph -> 0 e. ( R limCC B ) ) |